Question

【題目】如圖，在三棱臺中， ， 分別是， 的中點， 平面, 是等邊三角形， , ,.

（1）證明： 平面；

（2）求二面角的正弦值.

Answer 1

【答案】(1)見解析；(2) .

【解析】試題分析：（1）根據(jù)棱臺的性質(zhì)和三角形的中位線可以得到，從而得到平面.在梯形中， （為棱的中點），所以平面，從而可以證明平面平面，也就能得到平面.（2）以所在直線分別為軸， 軸， 軸，建立空間直角坐標系，通過計算平面和平面的法向量的夾角得到二面角的正弦值為.

解析：（1）證明：因為, 為棱的中點，所以,所以四邊形為平行四邊形，從而.又平面,平面,所以平面. 因為是的中位線,所以,同理可證, 平面.因為,所以平面平面. 又平面,所以平面.

（2）以所在直線分別為軸， 軸， 軸，建立如圖所示的空間直角坐標系,設(shè),則,則.

設(shè)平面的一個法向量,則 即

取，得.

同理，設(shè)平面的一個法向量，又,

由，得取，得.所以，即二面角的正弦值為.