Question

如圖，已知△ABC的面積為14，D、E分別為邊AB、BC上的點，且AD：DB=BE：EC=2：1，AE與CD交于P．設(shè)存在λ和μ使，，，．
（1）求λ及μ；
（2）用，表示；
（3）求△PAC的面積．

Answer 1

解：（1）由于，，則，，，，，
，∴ ①， ②，
由①②得，
（2）．
（3）設(shè)△ABC，△PAB，△PBC的高分別為h，h₁，h₂，
，，
，，S_△PAC=4．

分析：（1）根據(jù)，用基底、 表示出．再根據(jù)，
用基底、 表示出．這兩種表示方式是相同的，由此求出λ及μ．
（2）把用來表示，把（1）中的結(jié)果代入可得用基底、 表 示的．
（3） 根據(jù)面積之比等于對應(yīng)的向量的長度比求出△PAB和△PBC 的面積，用△ABC的面積減去△PAB和△PBC 的面積
即得△PAC的面積．
點評：本題考查向量數(shù)乘的運算和幾何意義，把三角形的面積之比轉(zhuǎn)化為向量的長度比，是解題的難點．