Question

在抗震救災(zāi)行動中，某部隊在如圖所示的P處空降了一批救災(zāi)藥品，急需把這批藥品沿道路PA，PB送到矩形災(zāi)民區(qū)ABCD中去，已知PA=100km，PB=150km，BC=60km，∠APB=60°，試在災(zāi)民區(qū)確定一條界線，使位于界線一側(cè)的點(diǎn)沿道路PA送藥較近，而另一側(cè)的點(diǎn)沿道路PB送藥較近，請說明這一界線是一條什么曲線？并求出其方程．

Answer 1

分析：災(zāi)民區(qū)ABCD中的點(diǎn)可分為三類，第一類沿道路PA送藥較近，第二類沿道路PB送藥較近，第三類沿道路PA，PB送藥一樣遠(yuǎn)近，由題意可知，界線應(yīng)該是第三類點(diǎn)的軌跡．建立坐標(biāo)系，利用雙曲線的定義，即可得到結(jié)論．

解答：解：災(zāi)民區(qū)ABCD中的點(diǎn)可分為三類，第一類沿道路PA送藥較近，第二類沿道路PB送藥較近，第三類沿道路PA，PB送藥一樣遠(yuǎn)近，由題意可知，界線應(yīng)該是第三類點(diǎn)的軌跡．
設(shè)M為界線上的任意一點(diǎn)，則有PA+MA=PB+MB，即MA-MB=PB-PA=50（定值），
∴界線為以A，B為焦點(diǎn)的雙曲線的右支的一部分．
如圖所示．以AB所在直線為x軸，線段AB的垂直平分線為y軸，建立直角坐標(biāo)系，設(shè)所求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）
∵a=25，2c=AB=

1002+1502-2×100×150×cos60°

=50

7

∴c=25

7

，b²=c²-a²=3750
∴雙曲線方程為

x2

625

-

y2

3750

=1
∵C(25

7

，70)
∴y_max=60，此時x=35，
∴所求方程為

x2

625

-

y2

3750

=1(25≤x≤35，y＞0)．

點(diǎn)評：本題考查雙曲線的定義，考查利用數(shù)學(xué)知識解決實(shí)際問題，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．