Question

已知函數(shù)f（x）=xe^x（e為自然對數(shù)的底數(shù)）
（1）求函數(shù)在x=1處的切線方程；  
（2）若任意x∈R，f（x）＞m恒成立，求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

考點：導數(shù)在最大值、最小值問題中的應用,利用導數(shù)研究曲線上某點切線方程

專題：導數(shù)的綜合應用

分析：（1）先求出切點的坐標，然后求出x=1處的導數(shù)，從而求出切線的斜率，利用點斜式方程即可求出切線方程．
（2）由題意可得，即求f（x）的最小值，利用導數(shù)先判斷函數(shù)的單調(diào)性，求出最小值即得結(jié)論．

解答： 解：（1）∵f（x）=xe^x
∴f′（x）=e^x+xe^x，∴f′（1）=2e，又f（1）=e，
∴曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線方程為y-e=2e（x-1），即2ex-y-e=0．
（2）∵任意x∈R，f（x）＞m恒成立，
∴只要f（x）_min＞m即可，
令f′（x）＞0⇒x＞-1，即函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是（-1，+∞）；
由f′（x）＜0⇒x＜-1，即函數(shù)f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間是（-∞，-1）；
∴當x=-1時，f（x）_min=f（-1）=0，
∴實數(shù)m的取值范圍（-∞，0）．

點評：本題主要考查了實際問題中導數(shù)的意義，以及利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性等基礎(chǔ)知識，考查恒成立問題的等價轉(zhuǎn)化能力及計算能力，屬于中檔題．