Question

定義在（-1，1）的函數(shù)f（x），對(duì)于任意的x，y∈（-1，1），都有，且x＞0時(shí)，f（x）＞0，
（1）判斷f（x）的奇偶性并證明
（2）證明f（x）在區(qū)間（-1，1）上是增函數(shù)
（3）若f（x）＜m²-2am+1，對(duì)所有，a∈[-1，1]恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

解：（1）函數(shù)f（x）在區(qū)間（-1，1）上是奇函數(shù)．
證明：∵函數(shù)定義域?yàn)椋?1，1），
令x=y=0得f（0）=0，
令y=-x，則有f（x）+f（-x）=0，得f（-x）=-f（x），
所以函數(shù)f（x）在區(qū)間（-1，1）上是奇函數(shù)．
（2）設(shè)-1＜x₁＜x₂＜1，
則f（x₂）-f（x₁）=f（x₂）+f（-x₁）=f（ ），而x₂-x₁＞0，|x₁||x₂|＜1
∴1-x₁x₂＞0
∴＞0，又x＞0時(shí)，f（x）＞0，
∴f（ ）＞0，即f（x₂）＞f（x₁），
∴f（x）在區(qū)間（-1，1）上是增函數(shù)；
（3）∵f（）=，f（）=f（x）+f（y），
∴令x=y=得：f（）=2f（）=1，即f（）=1．
因?yàn)楹瘮?shù)f（x）在（-1，1）上是增函數(shù)，故在[-，]上是增函數(shù)，
又f（）=1，
f（x）＜m²-2am+1，對(duì)所有x∈[-，]，a∈[-1，1]恒成立?1＜m²-2am+1，對(duì)所有x∈[-，]，a∈[-1，1]恒成立，
即m²-2am≥0，a∈[-1，1]恒成立．
記g（a）=m²-2am，對(duì)所有的a∈[-1，1]，g（a）≥0成立，
只需g（a）在[-1，1]上的最小值大于等于0．即g（-1）≥0；g（1）≥0．
解得：m≤-2或m=0，或m≥2．
故m的取值范圍為m≤-2，或m=0，或m≥2．
分析：（1）判斷函數(shù)f（x）的奇偶性：①判斷函數(shù)定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，②判斷f（-x）與f（x）的關(guān)系．
（2）證明函數(shù)f（x）的單調(diào)性，利用定義，分五步①設(shè)元，②作差，③變形，④判號(hào)，⑤下結(jié)論．
（3）令x=y=得：f（）=1，由（2）知，f（x）在[-，]上是增函數(shù)，f（x）＜m²-2am+1，對(duì)所有x∈[-，]，a∈[-1，1]恒成立?m²-2am≥0，a∈[-1，1]恒成立．構(gòu)造函數(shù)g（a）=m²-2am，對(duì)所有的a∈[-1，1]，g（a）≥0成立即可求得實(shí)數(shù)m的取值范圍．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了抽象函數(shù)的奇偶性，單調(diào)性，突出考查函數(shù)單調(diào)性的證明，考查賦值法與構(gòu)造函數(shù)思想，轉(zhuǎn)化思想的綜合運(yùn)用，屬于難題．