Question

設(shè)數(shù)列{a_n}，{b_n}都是等差數(shù)列，且a₁≠b₁，它們的前n項(xiàng)的和分別為S_n，T_n，若對(duì)一切n∈N，有S_n+3=T_n，
（1）分別寫出一個(gè)符合條件的數(shù)列{a_n}和{b_n}；
（2）若a₁+b₁=1，數(shù)列{C_n}滿足：C_n=4a_n+λ（-1）^n-1•2b_n，且當(dāng)n∈N時(shí)，C_n+1≥C_n恒成立，求實(shí)數(shù)λ的最大值．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列遞推式

專題：綜合題,點(diǎn)列、遞歸數(shù)列與數(shù)學(xué)歸納法

分析：（1）設(shè)數(shù)列{a_n}，{b_n}的公差分別為d₁，d₂，利用S_n+3=T_n，結(jié)合恒等式，可得d₁=d₂，2a₁+b₁=0，從而可寫出一個(gè)符合條件的數(shù)列{a_n}和{b_n}；
（2）先確定數(shù)列{a_n}，{b_n}的通項(xiàng)，再利用當(dāng)n∈N時(shí)，C_n+1≥C_n恒成立，可得λ（-1）ⁿ≥

-2

2n+3

，分類討論，即可求實(shí)數(shù)λ的最大值．

解答： 解：（1）設(shè)數(shù)列{a_n}，{b_n}的公差分別為d₁，d₂，則
∵S_n+3=T_n，
∴（n+3）a₁+

(n+3)(n+2)d1

2

=nb₁+

n(n-1)d2

2

，
∴d₁=d₂，2a₁+b₁=0，
∴取a₁=-1，b₁=2，d₁=d₂=1，
∴a_n=n-2，b_n=n+1；
（2）由a₁+b₁=1，2a₁+b₁=0，知a₁=-1，b₁=2，
∵C_n=4a_n+λ（-1）^n-1•2b_n，
∴C_n=4（n-2）+λ（-1）^n-1•2（n+1），
∵當(dāng)n∈N時(shí)，C_n+1≥C_n恒成立，
∴化簡(jiǎn)可得λ（-1）ⁿ≥

-2

2n+3

，
n取奇數(shù)，λ≤

2

5

，n取偶數(shù)，λ≥-

2

7

，
∴-

2

7

≤λ≤

2

5

，
∴實(shí)數(shù)λ的最大值為

2

5

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列的通項(xiàng)，考查恒成立，考查分類討論的數(shù)學(xué)思想，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，確定數(shù)列的通項(xiàng)是關(guān)鍵．