Question

已知函數(shù)f（x）=2

3

sinxcosx+2cos²x-1．
（1）求函數(shù)f（x）的最小正周期；
（2）當(dāng)x∈[0，

π

2

]時，求函數(shù)f（x）的值域．

Answer 1

考點(diǎn)：三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用,三角函數(shù)的周期性及其求法

專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（1）先利用二倍角公式和兩角和公式對函數(shù)解析式化簡，利用周期公式求得函數(shù)的最小正周期．
（2）根據(jù)x的范圍確定2x+

π

6

的范圍，進(jìn)而利用正弦函數(shù)的性質(zhì)求得函數(shù)的值域．

解答： 解：（1）f（x）=

3

sin2x+cos2x=2sin（2x+

π

6

），
∴T=

2π

2

=π．
（2）∵x∈[0，

π

2

]，
∴2x+

π

6

∈[

π

6

，

7π

6

]，
∴sin（2x+

π

6

）∈[-

1

2

，1]．
∴函數(shù)f（x）的值域?yàn)閇-

1

2

，1]．

點(diǎn)評：本題主要考查了三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用，三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)．注意與三角函數(shù)的圖象相結(jié)合，更容易解決問題．