Question

已知函數(shù)f（x）=4^x-m•2^x+1+8．
（1）當(dāng)m=3時，求方程f（x）=0的解；
（2）若x∈[0，1]，求函數(shù)f（x）的最小值g（m）（用m表示）．

Answer 1

考點：函數(shù)的最值及其幾何意義,指數(shù)型復(fù)合函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）根據(jù)指數(shù)函數(shù)和一元二次方程的解法即可求出函數(shù)的值域．
（2）利用換元法轉(zhuǎn)化為一元二次函數(shù)．即可得到結(jié)論．

解答： 解：（1）當(dāng)m=3時，f（x）=（2^x）²-6•2^x+8，
由f（x）=（2^x）²-6•2^x+8=0，
即（2^x-2）（2^x-4）=0．
即2^x=2或2^x=4，
解得x=1或x=2，
即方程f（x）=0的解為x=1或x=2．
（2）f（x）=4^x-m•2^x+1+8=（2^x）²-2m•2^x+8，
設(shè)t=2^x，
∵x∈[0，1]，
∴t∈[1，2]，
則函數(shù)等價為y=h（t）=t²-2m•t+8=（t-m）²-m²+8，
若m＜1，則函數(shù)在[1，2]上為增函數(shù)，
則函數(shù)的最小值為g（m）=h（1）=9-2m，
若1≤m≤2，當(dāng)t=m時，函數(shù)的最小值為g（m）=h（m）=8-m²，
若m＞2，則函數(shù)在[1，2]上為減函數(shù)，
則函數(shù)的最小值為g（m）=h（2）=12-4m，
故g(m)=

9-2m(m＜1) 8-m2(1≤m≤2) 12-4m(m＞2)

；

點評：本題主要考查指數(shù)函數(shù)的應(yīng)用，根據(jù)指數(shù)函數(shù)和一元二次函數(shù)的性質(zhì)，結(jié)合復(fù)合函數(shù)的性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵．