Question

13．已知函數(shù)f（x）=x²-2ax+2lnx，
（1）若曲線y=f（x）在x=1處的切線與直線y=2x+4平行，試求實數(shù)a的值；
（2）若函數(shù)f（x）在定義域上為增函數(shù)，試求實數(shù)a的取值范圍；
（3）若y=f（x）有兩個極值點x₁，x₂，且x₁＜x₂，a≥$\frac{5}{2}$．若不等式f（x₁）≥mx₂恒成立，試求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求當a=1時，函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，求得切線的斜率，由兩直線平行的條件：斜率相等，解方程可得a；
（2）求得導(dǎo)數(shù)，由題意可得f′（x）=2x-2a+$\frac{2}{x}$≥0在x＞0恒成立，即有a≤x+$\frac{1}{x}$的最小值，運用基本不等式可得最小值，即可得到a的范圍；
（3）函數(shù)f（x）在（0，+∞）上有兩個極值點，方程x²-ax+1=0有兩個不等的正根，求得兩根，求得范圍；不等式f（x₁）≥mx₂恒成立即為$\frac{f（{x}_{1}）}{{x}_{2}}$≥m，求得$\frac{f（{x}_{1}）}{{x}_{2}}$=x₁³-2ax₁²+2x₁lnx₁=-x₁³-2x₁+2x₁lnx₁，
設(shè)h（x）=-x³-2x+2xlnx（0＜x≤$\frac{1}{2}$），求出導(dǎo)數(shù)，判斷單調(diào)性，即可得到h（x）的最小值，即可求得m的范圍．

解答 解：（1）因為f（x）=x²-2ax+2lnx，
所以f′（x）=2x-2a+$\frac{2}{x}$．
因為在x=1處的切線與直線y=2x+4平行，
所以2-2a+2=2，解得a=1；
（2）函數(shù)f（x）在定義域上為增函數(shù)，
即為f′（x）=2x-2a+$\frac{2}{x}$≥0在x＞0恒成立，
即有a≤x+$\frac{1}{x}$的最小值，由x+$\frac{1}{x}$≥2，當且僅當x=1時，取得最小值2，
則有a≤2；
（3）函數(shù)f（x）的導(dǎo)數(shù)為f′（x）=2x-2a+$\frac{2}{x}$，
函數(shù)f（x）有兩個極值點x₁，x₂，即方程x²-ax+1=0有兩個不等的正根，
由a≥$\frac{5}{2}$，可得判別式△=a²-4＞0．
因為x²-ax+1=0，
所以x₁x₂=1，x₁+x₂=a，x₁=$\frac{a-\sqrt{{a}^{2}-4}}{2}$，x₂=$\frac{a+\sqrt{{a}^{2}-4}}{2}$≥2．
因為a≥$\frac{5}{2}$，所以0＜x₁≤$\frac{1}{2}$，
因為$\frac{f（{x}_{1}）}{{x}_{2}}$=x₁f（x₁）=x₁³-2ax₁²+2x₁lnx₁=-x₁³-2x₁+2x₁lnx₁，
設(shè)h（x）=-x³-2x+2xlnx（0＜x≤$\frac{1}{2}$），
則h′（x）=-3x²-2+2+2lnx=-3x²+2lnx，
因為0＜x＜$\frac{1}{2}$，則lnx＜0，
h'（x）＜0⇒h（x）在（0，$\frac{1}{2}$]上單調(diào)遞減，
則h（x）≥h（$\frac{1}{2}$）=-ln2-$\frac{9}{8}$．
所以m＜-ln2-$\frac{9}{8}$．

點評 本題考查導(dǎo)數(shù)的運用：求切線方程和單調(diào)區(qū)間、極值，主要考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，同時考查函數(shù)的單調(diào)性的運用，以及不等式恒成立問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值或范圍，屬于難題．