Question

9．已知$\overrightarrow{a}$、$\overrightarrow$為平面向量，若$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$與$\overrightarrow{a}$的夾角為$\frac{π}{4}$，$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$與$\overrightarrow$的夾角為$\frac{π}{3}$，則$\frac{|\overrightarrow{a}|}{|\overrightarrow|}$=（　�。�

• A． $\frac{\sqrt{3}}{3}$
• B． $\frac{{\sqrt{6}}}{2}$
• C． $\frac{\sqrt{5}}{3}$
• D． $\frac{\sqrt{6}}{3}$

Answer 1

分析 由向量加減的運算法則作圖，用正弦定理解三角形可得．

解答 解：作向量$\overrightarrow{OA}$=$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{OB}$=$\overrightarrow$，則$\overrightarrow{OC}$=$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$，
由平行四邊形法則可得$\overrightarrow{AC}$=$\overrightarrow$，
∵$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$與$\overrightarrow{a}$的夾角為$\frac{π}{4}$，$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$與$\overrightarrow$的夾角為$\frac{π}{3}$，
∴∠AOC=$\frac{π}{4}$，∠ACO=∠BOC=$\frac{π}{3}$，
在△OAC中由正弦定理可得$\frac{|\overrightarrow{a}|}{|\overrightarrow|}$=$\frac{sin∠ACO}{sin∠AOC}$
=$\frac{sin\frac{π}{3}}{sin\frac{π}{4}}$=$\frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}}$=$\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}$=$\frac{\sqrt{6}}{2}$，
故選：B．

點評 本題考查平面向量的夾角，涉及解三角形，數(shù)形結合是解決問題的關鍵，屬中檔題．