已知f（x）=ln（x+1）-ax（a∈R）
（1）當(dāng)a=1時，求f（x）在定義域上的最大值；
（2）已知y=f（x）在x∈[1，+∞）上恒有f（x）＜0，求a的取值范圍；
（3）求證：
12+1+1
12+1
•
22+2+1
22+2
•
32+3+1
32+3
•…•
n2+n+1
n2+n
＜e．
（1）∵f（x）=ln（x+1）-ax（a∈R），a=1，
∴f′(x)=
1
1+x
-1=
-x
1+x
，
由f′(x)=
-x
1+x
＞0，得-1＜x＜0；由f′(x)=
-x
1+x
＜0，得x＞0；
所以y=f（x）在（-1，0）為增，在（0，+∞）為減，
所以x=0時，f（x）取最大值0．
（2）y=f（x）在x∈[1，+∞）上恒有f（x）＜0，
等價于a＞
ln(x+1)
x
恒成立，
設(shè)g(x)=
ln(x+1)
x
?g′(x)=
x
1+x
-ln(x+1)
x2
，
設(shè)h(x)=
x
1+x
-ln(x+1)?h′(x)=
1
(1+x)2
-
1
1+x
=
-x
(1+x)2
＜0(x≥1)，
所以h（x）是減函數(shù)，所以h(x)≤h(1)=
1
2
-ln2＜0(4＞e?2＞e
1
2
)，
所以g（x）是減函數(shù)，gmax（x）=g（1），所以a＞ln2
（3）要證
12+1+1
12+1
•
22+2+1
22+2
•
32+3+1
32+3
•…•
n2+n+1
n2+n
＜e，
只需證ln
12+1+1
12+1
+ln
22+2+1
22+2
+…+ln
n2+n+1
n2+2
＜1
只需證ln(1+
1
12+1
)+ln(1+
1
22+2
)+…+ln(1+
1
n2+n
)＜1
因為ln(1+
1
n2+n
)＜
1
n2+n
=
1
n
-
1
n+1
，
所以ln(1+
1
12+1
)+ln(1+
1
22+2
)+…+ln(1+
1
n2+n
)＜1-
1
n+1
＜1．
故
12+1+1
12+1
•
22+2+1
22+2
•
32+3+1
32+3
•…•
n2+n+1
n2+n
＜e．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知f（x）=ln（1+x）-
x1+ax
（a＞0）．
（I） 若f（x）在（0，+∞）內(nèi)為單調(diào)增函數(shù)，求a的取值范圍；
（II） 若函數(shù)f（x）在x=O處取得極小值，求a的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如果函數(shù)f（x）在區(qū)間D上有定義，且對任意x1，x2∈D，x1≠x2，都有f(
x1+x2
2
)＜
f(x1)+f(x2)
2
，則稱函數(shù)f（x）在區(qū)間D上的“凹函數(shù)”．
（Ⅰ）已知f（x）=ln（1+ex）-x（x∈R），判斷f（x）是否是“凹函數(shù)”，若是，請給出證明；若不是，請說明理由；
（Ⅱ）對于（I）中的函數(shù)f（x）有下列性質(zhì)：“若x∈[a，b]，則存在x0（a，b）使得
f(b)-f(a)
b-a
=f′（x0）”成立．利用這個性質(zhì)證明x0唯一；
（Ⅲ）設(shè)A、B、C是函數(shù)f（x）=ln（1+ex）-x（x∈R）圖象上三個不同的點，求證：△ABC是鈍角三角形．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知f（x）=ln（x+1）．
（1）若g(x)=
1
4
x2-x+f(x)，求g（x）在[0，2]上的最大值與最小值；
（2）當(dāng)x＞0時，求證
1
1+x
＜f(
1
x
)＜
1
x
；
（3）當(dāng)n∈N+且n≥2時，求證：
1
2
+
1
3
+
1
4
+…+
1
n+1
＜f(n)＜1+
1
2
+
1
3
+…+
1
n
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知f（x）=ln（x+1）-ax（a∈R）
（1）當(dāng)a=1時，求f（x）在定義域上的最大值；
（2）已知y=f（x）在x∈[1，+∞）上恒有f（x）＜0，求a的取值范圍；
（3）求證：
12+1+1
12+1
•
22+2+1
22+2
•
32+3+1
32+3
•…•
n2+n+1
n2+n
＜e．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知f（x）=ln（1+x）-
14
x2 是定義在[0，2]上的函數(shù)
（1）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間
（2）若f（x）≥c對定義域內(nèi)的x恒成立，求c的取值范圍．．

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同步練習(xí)冊答案