若0＜x，y＜
π
2
，且sinx=xcosy，求證：y＜x＜2y．
考點：三角函數(shù)線
專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)
分析：根據(jù)已知中0＜x，y＜
π
2
，可得0＜sinx＜x＜tanx，進而可將已知sinx=xcosy變形為cosy=
sinx
x
＞
sinx
tanx
=cosy和
1
2
sinx=
1
2
xcosy，即cosy=
sin
x
2
•cos
x
2
1
2
x
＜cos
x
2
，進而結(jié)合余弦函數(shù)的單調(diào)性，得到答案．
解答： 證明：∵0＜x，y＜
π
2
，
∴0＜sinx＜x＜tanx，
又∵sinx=xcosy，
∴cosy=
sinx
x
＞
sinx
tanx
=cosx，
故y＜x，
又∵sinx=xcosy，即
1
2
sinx=
1
2
xcosy，
∴sin
x
2
•cos
x
2
=
1
2
xcosy，
即cosy=
sin
x
2
•cos
x
2
1
2
x
＜cos
x
2
，
故y＞
x
2
，即x＜2y，
綜上所述，y＜x＜2y．
點評：本題考查的知識點是三角函數(shù)線，余弦函數(shù)的單調(diào)性，本題的變形思路比較難，特別是對已知兩個式子的變形．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

設直線l：y=5x+2是曲線C：f（x）=
1
3
x3-x2+2x+m的一條切線，g（x）=ax2+2x-25
（1）求切點坐標及m的值；
（2）當m∈Z時，存在x∈[0，+∞）使f（x）≤g（x）成立，求實數(shù)a的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知圓C的圓心在直線3x-y=0上且在第一象限，圓C與x軸相切，且被直線x-y=0截得的弦長為2
7
．
（1）求圓C的方程；
（2）若點P（x，y）是圓C上的點，滿足
3
x+y-m≤0恒成立，求m的取值范圍；
（3）將圓C向左移1個單位，再向下平移3個單位得到圓C1，P為圓C1上第一象限內(nèi)的任意一點，過點P作圓C1的切線l，且l交x軸于點A，交y軸于點B，設
OM
=
OA
+
OB
，求丨
OM
丨的最小值（O為坐標原點）．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

若函數(shù)f（x）=2|x-1|-3|x|，對任意的x有f（x）≤m恒成立，求m的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知等比數(shù)列{an}的各項均為正數(shù)，a2=4，a3+a4=24．
（Ⅰ）求數(shù)列{an}的通項公式；
（Ⅱ）設bn=log2an，求數(shù)列{
bn
an
}的前n項和Tn．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知數(shù)列{an}的首項a1=1，且存在常數(shù)p，r，t（其中r≠0），使得an+an+1=r•2n-1與an+1=pan-pt對任意正整數(shù)n都成立；數(shù)列{bn}為等差數(shù)列．
（1）求常數(shù)p，r，t．并寫出數(shù)列{an}的通項公式；
（2）如果{bn}滿足條件：①b1為正整數(shù)；②公差為1；③項數(shù)為m（m為常數(shù)）；④2（1+
1
b1
）（1+
1
b2
）（1+
1
b3
）…（1+
1
bn
）=log2am，試求所有滿足條件的m值．
（3）如果數(shù)列{an}與數(shù)列{bn}沒有公共項，數(shù)列{an}與{bn}的所有項按從小到大的順序排列成：1，c2，c3，c4，4，…，且1，c2，c3，c4，4成等比數(shù)列，試求滿足條件的所有數(shù)列{bn}的通項公式．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=x2lnx
（1）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）證明：對任意的t＞0，存在唯一的s，使t=f（s）；
（3）設（2）中所確定的s關于t的函數(shù)為s=g（t），證明：當t＞e2時，有0＜
lng(t)
lnt
＜
1
2
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

某地區(qū)注重生態(tài)環(huán)境建設，每年用于改造生態(tài)環(huán)境總費用為x億元（x∈[a，b]），其中用于風景區(qū)改造費用為y億元．該市決定建立生態(tài)環(huán)境改造投資方案，該方案要求同時具備下列條件：
①每年用于風景區(qū)改造費用隨每年改造生態(tài)環(huán)境總費用增加而增加；
②每年用于風景區(qū)改造費用不得低于改造生態(tài)環(huán)境總費用的15%，但不得高于改造生態(tài)環(huán)境總費用的22%．
（1）若a=2，b=2.5，請你分析能否采用函數(shù)模型y=
1
100
（x3+4x+16）作為生態(tài)環(huán)境改造投資方案；
（2）若a，b取正整數(shù)，并用函數(shù)模型y=
1
100
（x3+4x+16）作為生態(tài)環(huán)境改造投資方案，請你求出a，b的取值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

等比數(shù)列
1
2
，1，2，…的第5項等于
 
．

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