Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知，，，直線與線段、分別交于點(diǎn)、.

（1）當(dāng)時，求以為焦點(diǎn)，且過中點(diǎn)的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）過點(diǎn)作直線交于點(diǎn)，記的外接圓為圓.
①求證:圓心在定直線上；
②圓是否恒過異于點(diǎn)的一個定點(diǎn)?若過，求出該點(diǎn)的坐標(biāo)；若不過，請說明理由.

Answer 1

(1)(2)①略②.

試題分析：(1)根據(jù)題意，，，求出，可得到方程；(2)①解法一：根據(jù)題意寫出的坐標(biāo)，線段的中垂線的交點(diǎn)就是圓心，將圓心坐標(biāo)代入中，可得證；解法二：設(shè)出一般方程，將三點(diǎn)的坐標(biāo)代入，聯(lián)立求解；②根據(jù)①，寫出圓系方程，聯(lián)立方程解得該定點(diǎn).
試題解析：(1)設(shè)橢圓的方程為,
當(dāng)時, 的中點(diǎn)為，則                                   1分
而,所以，                                           2分
故橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為                                           3分
(Ⅱ)①解法一:易得直線，直線
可得,再由,得                      5分
則線段的中垂線方程為,                                         6分
線段的中垂線方程為,                                 7分
由,                                                    8分
解得的外接圓的圓心坐標(biāo)為                              9分
經(jīng)驗(yàn)證,該圓心在定直線上                                   10分
②由①可得圓C的方程為                  11分
該方程可整理為,
則由,解得或,                        13分
所以圓恒過異于點(diǎn)的一個定點(diǎn),該點(diǎn)坐標(biāo)為                      14分
解法二: 易得直線，直線           5分
所以可得,                                            6分
再由,得                                               7分
設(shè)的外接圓的方程為,
則,                                   8分
解得圓心坐標(biāo)為,                                          9分
經(jīng)驗(yàn)證,該圓心在定直線上                                10分
②由①可得圓C的方程為                    11分
該方程可整理為,
則由,解得或,                           13分
所以圓恒過異于點(diǎn)的一個定點(diǎn),該點(diǎn)坐標(biāo)為                         14分