Question

如圖，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，∠ACB=90°，CA=CB=CC₁=2，M是BC的中點(diǎn)．
（I）求證：A₁C∥平面AB₁M；
（Ⅱ）求二面角B-AB₁-M的大小．

Answer 1

證明：（I）連接A₁B，交AB₁于P點(diǎn)，
則P是A₁B的中點(diǎn)，
又M是BC的中點(diǎn)
則PM∥A₁C
又∵PM?平面AB₁M，A₁C?平面AB₁M
∴A₁C∥平面AB₁M；
（Ⅱ）在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，∠ACB=90°，
以C為坐標(biāo)原點(diǎn)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系
∵CA=CB=CC₁=2，M是BC的中點(diǎn)
則A（2，0，0），B（0，2，0），M（0，1，0），B₁（0，2，2），
則=（-2，1，0），=（-2，2，2），=（-2，2，0）
設(shè)平面AB₁M的法向量為=（x，y，z）
則，即
令x=1，則=（1，2，-1）
設(shè)平面AB₁B的法向量為=（a，b，c）
則，即
令a=1，則=（1，1，0）
∵cos＜，＞==
∴二面角B-AB₁-M的大小為30°
分析：（I）連接A₁B，交AB₁于P點(diǎn)，由平行四邊形對(duì)角線互相平分及M是BC的中點(diǎn)，結(jié)合三角形中位線定理可得PM∥A₁C，進(jìn)而由線面平行的判定定理得到A₁C∥平面AB₁M；
（Ⅱ）以C為坐標(biāo)原點(diǎn)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，分別求出平面AB₁M的法向量和平面AB₁B的法向量，代入向量夾角公式，可求二面角B-AB₁-M的大小
點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是線面平行的判定及二面角的求解，其中（1）的關(guān)鍵是證得PM∥A₁C，（2）的關(guān)鍵是建立空間直角坐標(biāo)系，將二面角問題轉(zhuǎn)化為向量夾角問題．