Question

設集合M={1，2，3，…，n} （n∈N⁺），對M的任意非空子集A，定義f（A）為A中的最大元素，當A取遍M的所有非空子集時，對應的f（A）的和為S_n，則：①S₃=

17

．②S_n=

（n-1）2ⁿ+1

．

Answer 1

分析：由題意得對M的任意非空子集A一共有2ⁿ-1個：在所有非空子集中每個元素出現2^n-1次可以推出有2^n-1個子集含n，有2^n-2個子集不含n含n-1，有2^n-3子集不含n，n-1，含n-2…有2^k-1個子集不含n，n-1，n-2…k-1，而含k，進而利用錯位相減法求出其和．

解答：解：由題意得：在所有非空子集中每個元素出現2^n-1次．
故有2^n-1個子含n，有2^n-2個子集不含n含n-1，有2^n-3子集不含n，n-1，含n-2…有2^k-1個子集不含n，n-1，n-2…k-1，而含有k．
∵定義f（A）為A中的最大元素，
所以S_n=2^n-1×n+2^n-2×（n-1）+…+2¹×2+1
S_n=1+2¹×2+2²×3+2³×4+…2^n-1×n①
又2S_n=2+2²×2+2³×3+2⁴×4+…2ⁿ×n…②錯位相減，
所以①-②可得-S_n=1+2¹+2²+2³+…+2^n-1-2ⁿ×n
所以S_n=（n-1）2ⁿ+1
所以S₃=（3-1）×2³+1=17．
故答案為①S₃=17，②S_n=（n-1）2ⁿ+1．

點評：解決此類問題的關鍵是讀懂并且弄清題意，結合數列求和的方法求其和即可，找出規(guī)律是關鍵，此題難度比較大；