Question

已知等比數(shù)列的前項和為，正數(shù)數(shù)列的首項為，
且滿足：．記數(shù)列前項和為．
(Ⅰ)求的值； (Ⅱ)求數(shù)列的通項公式；
(Ⅲ)是否存在正整數(shù)，且，使得成等比數(shù)列？若存在，求出的值，若不存在，說明理由．

Answer 1

(Ⅰ)  (Ⅱ)  (Ⅲ) 存在，。

熟練掌握并靈活運(yùn)用等差等比數(shù)列的通項公式以及求和公式是解決此題的關(guān)鍵．
（Ⅰ）根據(jù)Sn求出a₁，a₂，a₃，根據(jù){a_n}為等比數(shù)列，確定出c的值．
（Ⅱ）根據(jù)b_n+1=

bn

1+2bn

 (n∈N*)，得到bn與bn+1的遞推關(guān)系，根據(jù)特殊的數(shù)列求通項．
（Ⅲ）先求出Tn，假設(shè)滿足T₁，T_m，T_n成等比數(shù)列，得到n與m的關(guān)系式，再根據(jù)1＜m＜n，求出m，n的范圍，根據(jù)m，n是正整數(shù)，求出m，n的值．
解：(Ⅰ)，，………（3分）
因為為等比數(shù)列所以，得 ………………………（4分）
經(jīng)檢驗此時為等比數(shù)列.          ………………（5分）
(Ⅱ)∵   ∴
數(shù)列為等差數(shù)列  …………………………………………（7分）
又，所以
所以                          …………（10分）
(Ⅲ) ……（12分）
假設(shè)存在正整數(shù)，且，使得成等比數(shù)列
則，所以
由得且
即，所以
因為為正整數(shù)，所以，此時
所以滿足題意的正整數(shù)存在，．…………（15分）