Question

數(shù)列{b_n}（n∈N^*）是遞增的等比數(shù)列，且b₁+b₅=17，b₂b₄=16．
（Ⅰ）求數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）數(shù)列{a_n}（n∈N^*）滿足b2，ban，b2n+2成等比數(shù)列，若a₁+a₂+a₃+…+a_m≤a₄₀，求m的最大值．

Answer 1

分析：（I）根據(jù)所給的兩個等式，根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)寫出第一項(xiàng)和第五項(xiàng)之間的兩個關(guān)系，求出這兩項(xiàng)，求出首項(xiàng)和公比，寫出數(shù)列的通項(xiàng)公式．
（II）根據(jù)三個數(shù)字成等比數(shù)列，利用等比中項(xiàng)寫出關(guān)系式，根據(jù)上一問做出的數(shù)列的通項(xiàng)，寫出要求數(shù)列的通項(xiàng)．根據(jù)a₁+a₂+a₃+…+a_m≤a₄₀，寫出關(guān)于m的不等式，做出結(jié)果．

解答：解：（Ⅰ）由 

b1b5=b2b4=16 b1+b5=17

知b₁，b₅是方程x²-17x+16=0的兩根，
注意到b_n+1＞b_n得 b₁=1，b₅=16．
∴b₁=1，q=2
∴b_n=b₁q^n-1=2^n-1
（Ⅱ） 由b2，ban，b2n+2成等比數(shù)列，得ban2=b2•b2n+2，
∴a_n=n+2．
∵a_n+1-a_n=[（n+1）+2]-[n+2]=1
∴數(shù)列{a_n}是首項(xiàng)為3，公差為1的等差數(shù)列．
由a₁+a₂+a₃+…+a_m≤a₄₀，
得m²+5m-84≤0，
解得-12≤m≤7．
∴m的最大值是7．

點(diǎn)評：本題考查數(shù)列的知識，本題解題的關(guān)鍵是寫出數(shù)列的通項(xiàng)，第二問要利用第一問的結(jié)論來寫出關(guān)系式，注意運(yùn)算過程不要出錯．