Question

11．已知函數(shù)f（x）=cos（2x-$\frac{π}{3}$）-$\sqrt{3}$sinxcosx-2sinx，x∈[$\frac{π}{6}$，π]，求函數(shù)f（x）的值域．

Answer 1

分析 利用兩角差的余弦公式，二倍角公式，可將函數(shù)的解析式化為f（x）=$\frac{1}{2}$-sin²x-2sinx，令t=sinx，結合二次函數(shù)的圖象和性質，可得答案．

解答 解：∵函數(shù)f（x）=cos（2x-$\frac{π}{3}$）-$\sqrt{3}$sinxcosx-2sinx=$\frac{1}{2}$cos2x+$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2x-$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2x-2sinx=$\frac{1}{2}$-sin²x-2sinx，
令t=sinx，x∈[$\frac{π}{6}$，π]，則t∈[0，1]，y=f（x）=$-{t}^{2}-2t+\frac{1}{2}$，
故當t=0時，函數(shù)有最大值$\frac{1}{2}$，t=1時，函數(shù)取小時值-$\frac{5}{2}$，
故函數(shù)f（x）的值域為[$\frac{5}{2}$，$\frac{1}{2}$]

點評 本題考查的知識點是三角函數(shù)中的恒等變換應用，三角函數(shù)的最值，難度中檔．