Question

已知某幾何體的直觀圖（圖1）與它的三視圖（圖2），其中俯視圖為正三角形，其它兩個視圖是矩形．已知D是這個幾何體的棱A₁C₁上的中點．
（Ⅰ）求出該幾何體的體積；
（Ⅱ）求證：直線BC₁∥平面AB₁D；
（Ⅲ）求證：平面AB₁D⊥平面AA₁D．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由三視圖直接求出底面面積和高，然后求出該幾何體的體積；
（Ⅱ）連接A₁B，且A₁B∩AB₁=O，要證直線BC₁∥平面AB₁D，只需證明直線BC₁平行平面AB₁D內的直線DO即可；
（Ⅲ）要證平面AB₁D⊥平面AA₁D，只需證明平面AB₁D內的直線B₁D垂直平面AA₁D即可．

解答：解：由三視圖可知該幾何體為正三棱柱，底面是高為

3

的正三角形，三棱柱的高h=3，
（Ⅰ）底面是高為

3

的正三角形，易知底面邊長為2，所以底面面積s=

1

2

×2×

3

=

3

，
所求體積V=sh=3

3

．
（Ⅱ）連接A₁B，且A₁B∩AB₁=O，∵正三棱柱側面是矩形，
∴點O是棱A₁B的中點（6分）
因為D為棱A₁C₁的中點．連接DO，∴DO是△A₁BC₁的中位線，∴BC₁∥DO，又DO?平面AB₁D，BC₁?平面AB₁D，∴BC₁∥平面AB₁D．（9分）
（Ⅲ）在正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，三角形A₁B₁C₁為正三角形，∴B₁D⊥A₁C₁．，
又由正三棱柱性質知平面A₁B₁C₁⊥平面ACC₁A₁，且平面A₁B₁C₁∩平面ACC₁A₁=A₁C₁，
B₁D?平面A₁B₁C₁，∴B₁D⊥平面AA₁D，（12分）又B₁D?平面AB₁D，
∴平面AB₁D⊥平面AA₁D．（14分）

點評：本題考查平面與平面垂直的判定，直線與平面的平行的判定，棱柱的體積，考查邏輯思維能力，空間想象能力，是中檔題．