Question

若函數(shù)f（x）為奇函數(shù)，當x≥0時，f（x）=2x²-4x（如圖）．
（Ⅰ）請補全函數(shù)f（x）的圖象；
（Ⅱ）寫出函數(shù)f（x）的表達式；
（Ⅲ）用定義證明函數(shù)y=f（x）在區(qū)間[1，+∞）上單調(diào)遞增．

Answer 1

（本小題滿分12分）
解：（Ⅰ）如圖所示． …（4分）
（Ⅱ）任取x∈（-∞，0），則-x∈（0，+∞）
由f（x）為奇函數(shù)，
則f（x）=-f（-x）=-[2（-x）²-4（-x）]=-2x²-4x…（6分）
綜上所述，…（7分）
評分建議：
用待定系數(shù)法也可以完成，參照以上評分標準給分；
觀察圖象，直接得出函數(shù)解析式，沒有中間過程，建議這次不扣分；
如果最后結(jié)果不寫成分段形式，應當扣（1分）．
（Ⅲ）任取x₁，x₂∈[1，+∞），且x₁＜x₂，…（8分）
則f（x₁）-f（x₂）=…（9分）
=
=2（x₁+x₂）（x₁-x₂）-4（x₁-x₂）
=2（x₁-x₂）[（x₁+x₂）-2]…（10分）
∵x₁＜x₂∴x₁-x₂＜0
又由x₁，x₂∈[1，+∞），且x₁＜x₂，所以x₁+x₂＞2，∴（x₁+x₂）-2＞0
∴2（x₁-x₂）[（x₁+x₂）-2]＜0，
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，即f（x₁）＜f（x₂）…（11分）
∴函數(shù)f（x）=2x²-4x在區(qū)間[1，+∞）上單調(diào)遞增．…（12分）
評分建議：如果不強調(diào)取值的任意性，建議酌情扣（1分）．
分析：（1）根據(jù)奇函數(shù)的圖象關于原點對稱這一性質(zhì)即可補全函數(shù)f（x）的圖象．
（Ⅱ）任取x∈（-∞，0），則-x∈（0，+∞）f（-x）=2（-x）²-4（-x）=2x²+4x再根據(jù)f（x）為奇函數(shù)即滿足f（x）=-f（-x）即可求出f（x）在x∈（-∞，0）的解析式從而即可求出函數(shù)f（x）的表達式．
（Ⅲ）直接根據(jù)單調(diào)遞增函數(shù)的定義證明即可．
點評：本題主要考察了奇函數(shù)的定義和性質(zhì)以及利用定義法證明單調(diào)函數(shù)，屬中檔題，較難．解題的關鍵是透徹理解奇函數(shù)的圖象關于原點對稱且有f（x）=-f（-x）這是求解f（x）的表達式的關鍵所在并且結(jié)果要寫成分段函數(shù)的形式而對于利用定義法證明單調(diào)函數(shù)要抓住作差--變形--定號--下結(jié)論這四步即可！