Question

設(shè)向量

a

與

b

的夾角為120°，且滿足|

a

|=|

b

|=1，則|

a

+t

b

|（t∈R）的最小值是

3

2

．

Answer 1

分析：由題意，可先求|

a

+t

b

|²（t∈R）的最小值，將|

a

+t

b

|²展開，代入題設(shè)條件，

a

，

b

兩向量的夾角為120°，模都是1，則可得|

a

+t

b

|²=t²-t+1，由于t∈R，求此二次函數(shù)的最小值即可得到|

a

+t

b

|²（t∈R）的最小值，再求其算術(shù)平方根，即可得到|

a

+t

b

|的最小值，得到正確答案

解答：解：由題意，可先求|

a

+t

b

|²（t∈R）的最小值
由于|

a

+t

b

|²=

a

2+t2 

b

2+2t

a

•

b

又由題意，

a

，

b

兩向量的夾角為120°，模都是1
∴|

a

+t

b

|²=t²-t+1=(t-

1

2

)2+

3

4

，t∈R
∴當(dāng)t=

1

2

時，|

a

+t

b

|²取到最小值

3

4

∴|

a

+t

b

|的最小值是

3

2

故答案為

3

2

點評：本題考查平面向量的模的求法，向量數(shù)量積的運算，二次函數(shù)的最值，涉及到的知識點較多，解題的關(guān)鍵是理解題意，確定解題的方向為先求|

a

+t

b

|²（t∈R）的最小值，向量求模常采用的技巧就是求模的平方．本題通過二次函數(shù)求最值，用到了函數(shù)的思想，這是最值問題常用的轉(zhuǎn)化方向