Question

在△ABC中，a、b、c分別為角A、B、C的對邊，且．
（1）證明：sin2A=sin2B；
（2）若a=3，b=4，求的值；
（3）若C=60°，△ABC的面積為，求•+•+•的值．

Answer 1

解：（1）證明：由=tanAcotB
得sinAcosA=sinBcosB
∴sin2A=sin2B
（2）解：由上題知sin2A=sin2B及a≠b
得2A+2B=π
∴A+B=，c=
∴=9+16
∴
（3）由（1）知A=B或A+B=又∵C=
∴A=B=C=即△ABC為等邊三角形
又∴a²=4，a=2
∴•+•+•=3×2×2cos=-6
分析：（1）利用正弦定理把題設(shè)中的等式的邊轉(zhuǎn)化成角的正弦，化簡整理，利用二倍角公式求得sin2A=sin2B，原式得證．
（2）由（1）中的結(jié)論可推斷出A+B=，進(jìn)而利用勾股定理求得c，進(jìn)而利用向量的運(yùn)算法則求得的值．
（3）由（1）中的結(jié)論可推斷出A=B或A+B=，進(jìn)而根據(jù)C=推斷出△ABC為等邊三角形，進(jìn)而利用三角形面積公式求得a的值，進(jìn)而根據(jù)平面向量數(shù)量積的運(yùn)算求得答案．
點(diǎn)評：本題主要考查了正弦定理的應(yīng)用，平面向量的基本運(yùn)算．考查了學(xué)生綜合分析問題和基本的運(yùn)算能力．