Question

為了在夏季降溫和冬季供暖時(shí)減少能源損耗，房屋的屋頂和外墻需要建造隔熱層．某幢建筑物要建造可使用20年的隔熱層，每厘米厚的隔熱層建造成本為6萬元．該建筑物每年的能源消耗費(fèi)用C（單位：萬元）與隔熱層厚度x（單位：cm）滿足關(guān)系：C（x）=

k

3x+5

(0≤x≤10)，若不建隔熱層（即x=0時(shí)），每年能源消耗費(fèi)用為8萬元．設(shè)f（x）為隔熱層建造費(fèi)用與20年的能源消耗費(fèi)用之和．
（1）求k的值；
（2）求f（x）的表達(dá)式；
（3）利用“函數(shù)y=x+

a

x

（其中a為大于0的常數(shù)），在(0，

a

]上是減函數(shù)，在[

a

，+∞)上是增函數(shù)”這一性質(zhì)，求隔熱層修建多厚時(shí)，總費(fèi)用f（x）達(dá)到最小，并求出這個(gè)最小值．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)題意中的一組特值求解．
（2）根據(jù)題意，隔熱層的建造費(fèi)用f（x）是20年的能源消耗費(fèi)用之和與x厘米厚的隔熱層的建造成本的和，依次求出函數(shù)的解析式與定義域．
（3）將函數(shù)解析式化簡(jiǎn)，再利用“函數(shù)y=x+

a

x

（其中a為大于0的常數(shù)），在(0，

a

]上是減函數(shù)，在[

a

，+∞)上是增函數(shù)”這一性質(zhì)，求解．

解答：解：（1）根據(jù)題意當(dāng)x=0時(shí)，C（x）=8，代入得

K

5

=8?K=40；
（2）f（x）=6x+20×

40

3x+5

=6x+

800

3x+5

，0≤x≤10．
（3）∵f（x）=2（3x+5）+

800

3x+5

-10=2[（3x+5）+

400

3x+5

]-10≥2×2

400

-10=70．
當(dāng)且僅當(dāng)3x+5=

400

=20時(shí)，即x=5時(shí)，取“=”．
答：隔熱層修建5厘米厚時(shí)，總費(fèi)用最小，最小值為70（萬元）．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查利用構(gòu)造函數(shù)類型解決實(shí)際問題．