如圖,橢圓E:數(shù)學(xué)公式的右焦點(diǎn)F2與拋物線y2=8x的焦點(diǎn)重合,過(guò)F2作與x軸垂直的直線l與橢圓交于S、T兩點(diǎn),與拋物線交于C、D兩點(diǎn),且數(shù)學(xué)公式
(Ⅰ)求橢圓E的方程;
(Ⅱ)設(shè)P是橢圓M上的任意一點(diǎn),EF為圓N:x2+(y-2)2=1的任意一條直徑(E、F為直徑的兩個(gè)端點(diǎn)),求數(shù)學(xué)公式的最大值.

解:(Ⅰ)由條件可知橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)為(2,0),|CD|=8,,
可得:2a2=3b4,又a2=b2+4,則3b4-2b2-8=0,解得:b2=2,a2=4,
所以橢圓M的方程為
(2)方法1:設(shè)圓N:x2+(y-2)2=1的圓心為N,
==
從而求的最大值轉(zhuǎn)化為求的最大值.
因?yàn)镻是橢圓M上的任意一點(diǎn),設(shè)P(x0,y0),所以,即
因?yàn)辄c(diǎn)N(0,2),所以
因?yàn)?img class='latex' src='http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/20071.png' />,所以當(dāng)y0=-1時(shí),取得最大值12. 
所以的最大值為11.
方法2:設(shè)點(diǎn)E(x1,y1),F(xiàn)(x2,y2),P(x0,y0),因?yàn)镋,F(xiàn)的中點(diǎn)坐標(biāo)為(0,2),所以
所以=(x1-x0)(-x1-x0)+(y1-y0)(4-y1-y0
==.…(6分)
因?yàn)辄c(diǎn)E在圓N上,所以,即
因?yàn)辄c(diǎn)P在橢圓M上,所以,即
所以==
因?yàn)?img class='latex' src='http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/227623.png' />,所以當(dāng)y0=-1時(shí),

方法3:①若直線EF的斜率存在,設(shè)EF的方程為y=kx+2,
,解得
因?yàn)镻是橢圓M上的任一點(diǎn),設(shè)點(diǎn)P(x0,y0),所以,即
所以
所以
因?yàn)?img class='latex' src='http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/20071.png' />,所以當(dāng)y0=-1時(shí),取得最大值11.
②若直線EF的斜率不存在,此時(shí)EF的方程為x=0,
,解得y=1或y=3.
不妨設(shè),E(0,3),F(xiàn)(0,1). 因?yàn)镻是橢圓M上的任一點(diǎn),設(shè)點(diǎn)P(x0,y0),
所以,即.所以
所以
因?yàn)?img class='latex' src='http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/20071.png' />,所以當(dāng)y0=-1時(shí),取得最大值11.
綜上可知,的最大值為11.


分析:(Ⅰ)由條件可知橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)為(2,0),|CD|=8,,利用可得:2a2=3b4,結(jié)合a2=b2+4,即可求得橢圓M的方程;
(2)方法1:設(shè)圓N:x2+(y-2)2=1的圓心為N,利用向量的運(yùn)算,表示出,從而求的最大值轉(zhuǎn)化為求的最大值,用坐標(biāo)表示出,即可求得的最大值;
方法2:設(shè)點(diǎn)E(x1,y1),F(xiàn)(x2,y2),P(x0,y0),用坐標(biāo)表示出,利用配方法,即可求得結(jié)論;
方法3:分類(lèi)討論:直線EF的斜率存在與不垂直,EF的方程與圓的方程聯(lián)立,用坐標(biāo)表示出,利用配方法,即可求得結(jié)論.
點(diǎn)評(píng):本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,考查向量知識(shí)的運(yùn)用,考查直線與圓的位置關(guān)系,正確表示是關(guān)鍵.
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

精英家教網(wǎng)如圖,在直角坐標(biāo)系xOy中,已知橢圓C:
y2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)的離心率e=
3
2
,左右兩個(gè)焦分別為F1、F2.過(guò)右焦點(diǎn)F2且與軸垂直的
直線與橢圓C相交M、N兩點(diǎn),且|MN|=1.
(Ⅰ)求橢圓C的方程;
(Ⅱ)設(shè)橢圓C的左頂點(diǎn)為A,下頂點(diǎn)為B,動(dòng)點(diǎn)P滿足
PA
AB
=m-4,(m∈R)試求點(diǎn)P的軌跡方程,使點(diǎn)B關(guān)于該軌跡的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)落在橢圓C上.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

如圖,在直角坐標(biāo)系中,已知橢圓的離心率e=,左右兩個(gè)焦分別為.過(guò)右焦點(diǎn)且與軸垂直的

直線與橢圓相交M、N兩點(diǎn),且|MN|=1.

(Ⅰ) 求橢圓的方程;

(Ⅱ) 設(shè)橢圓的左頂點(diǎn)為A,下頂點(diǎn)為B,動(dòng)點(diǎn)P滿足,

)試求點(diǎn)P的軌跡方程,使點(diǎn)B關(guān)于該軌跡的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)落在橢圓上.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

如圖,在直角坐標(biāo)系中,已知橢圓的離心率e=,左右兩個(gè)焦分別為.過(guò)右焦點(diǎn)且與軸垂直的

直線與橢圓相交M、N兩點(diǎn),且|MN|=1.

(Ⅰ) 求橢圓的方程;

(Ⅱ) 設(shè)橢圓的左頂點(diǎn)為A,下頂點(diǎn)為B,動(dòng)點(diǎn)P滿足,

)試求點(diǎn)P的軌跡方程,使點(diǎn)B關(guān)于該軌跡的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)落在橢圓上.

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如圖,在直角坐標(biāo)系xOy中,已知橢圓C:+=1(a>b>0)的離心率e=,左右兩個(gè)焦分別為F1、F2.過(guò)右焦點(diǎn)F2且與軸垂直的
直線與橢圓C相交M、N兩點(diǎn),且|MN|=1.
(Ⅰ)求橢圓C的方程;
(Ⅱ)設(shè)橢圓C的左頂點(diǎn)為A,下頂點(diǎn)為B,動(dòng)點(diǎn)P滿足=m-4,(m∈R)試求點(diǎn)P的軌跡方程,使點(diǎn)B關(guān)于該軌跡的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)落在橢圓C上.

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如圖,在直角坐標(biāo)系xOy中,已知橢圓C:+=1(a>b>0)的離心率e=,左右兩個(gè)焦分別為F1、F2.過(guò)右焦點(diǎn)F2且與軸垂直的
直線與橢圓C相交M、N兩點(diǎn),且|MN|=1.
(Ⅰ)求橢圓C的方程;
(Ⅱ)設(shè)橢圓C的左頂點(diǎn)為A,下頂點(diǎn)為B,動(dòng)點(diǎn)P滿足=m-4,(m∈R)試求點(diǎn)P的軌跡方程,使點(diǎn)B關(guān)于該軌跡的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)落在橢圓C上.

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