Question

如圖所求，已知四邊形ABCD、EADM和MDCF都是邊長(zhǎng)為a的正方形，點(diǎn)P、Q分別是ED和AC的中點(diǎn)．
求：（1）

PM

與

FQ

所成的角；
（2）P點(diǎn)到平面EFB的距離．

Answer 1

分析：（1）以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，DA為x軸，DC為y軸，DM為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，求出

PM

與

FQ

的坐標(biāo)，再利用向量的夾角公式求出兩向量所成的角；
（2）設(shè)n=（x，y，z）是平面EFB的單位法向量，根據(jù)條件建立方程組，求出n，設(shè)所求距離為d，利用d=|

PE

•n|進(jìn)行求解即可．

解答：解：建立空間直角坐標(biāo)系，使得D（0，0，0）、A（a，0，0）、B（a，a，0）、C（0，a，0）、M（0，0，a）、E（a，0，a）、F（0，a，a），則由中點(diǎn)坐標(biāo)公式得P（

a

2

，0，

a

2

）、
Q（

a

2

，

a

2

，0）．
（1）∴

PM

=（-

a

2

，0，

a

2

），

FQ

=（

a

2

，-

a

2

，-a），

PM

•

FQ

=（-

a

2

）×

a

2

+0+

a

2

×（-a）=-

3

4

a²，且|

PM

|=

2

2

a，|

FQ

|=

6

2

a．
∴cos＜

PM

，

FQ

＞=

PM • FQ

| PM || FQ |

=

- 3 4 a2

2 2 a× 6 2 a

=-

3

2

．
故得兩向量所成的角為150°．
（2）設(shè)n=（x，y，z）是平面EFB的單位法向量，即|n|=1，n⊥平面EFB，
∴n⊥

EF

，n⊥

BE

．又

EF

=（-a，a，0），

EB

=（0，a，-a），即有

x2+y2+z2=1 -ax+ay=0 ay-az=0.

得其中的一組解

x= 3 3 y= 3 3 z= 3 3 .

，
∴n=（

3

3

，

3

3

，

3

3

），

PE

=（

a

2

，0，

a

2

）．
設(shè)所求距離為d，則d=|

PE

•n|=

3

3

a．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了異面直線及其所成的角，以及點(diǎn)、線、面間的距離計(jì)算，考查空間想象能力、運(yùn)算能力和推理論證能力，屬于基礎(chǔ)題．