Question

已知函數(shù)f（x）=[x²+（2a-2）x+2-2a-b]e^x（a，b∈R）在區(qū)間[-1，3]上是減函數(shù)，則a+b的最小值是（　�。�

• A、4
• B、2
• C、

  3

  2

• D、

  2

  3

Answer 1

考點：利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性

專題：導數(shù)的綜合應用

分析：根據(jù)導數(shù)的運算法則嗎，先求導，再根據(jù)區(qū)間[-1，3]上是減函數(shù)，得到即

2a+b≥1 b-6a≥9

，再利用線性區(qū)域，求的最值．

解答： 解：∵f（x）=[x²+（2a-2）x+2-2a-b]e^x（a，b∈R）在區(qū)間[-1，3]上是減函數(shù)，
∴f′（x）=e^x（x²+2ax-b）＜0，
∴x²+2ax-b＜0，令g（x）=x²+2ax-b，
∵f（x）=[x²+（2a-2）x+2-2a-b]e^x（a，b∈R）在區(qū)間[-1，3]上是減函數(shù)，
∴

g(-1)≤0 g(3)≤0

，
即

2a+b≥1 b-6a≥9

，①
在坐標平面內作直線 1-2a-b=0、9+6a-b=0，它們交于 A（-1，3），滿足①（a，b）是 A 點上方區(qū)域，
令a+b=t，則 b=-a+t，t是直線在b軸上的截距，
平移直線，可以看出，當直線過A時，t最小為3-1=2．
故a+b的最小值是2．
故選：B．

點評：本題主要考查了導數(shù)與函數(shù)的單調性的問題，以及區(qū)域線性規(guī)劃，屬于中檔題．