Question

已知關(guān)于x的二次方程anx2-an+1x+1=0(n∈N*)的兩根α，β滿足6α-2αβ+6β=3，且a₁=1
（1）試用a_n表示a_n+1；
（2）求數(shù)列的通項(xiàng)公式a_n；
（3）求數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和S_n．并求S_n的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）直接利用韋達(dá)定理求出兩根之和以及兩根之積，再代入6α-2αβ+6β=3整理即可得到結(jié)論；
（2）對(duì)（1）的結(jié)論兩邊同時(shí)減去

2

3

整理，證明數(shù)列{a_n-

2

3

}是等比數(shù)列，從而可求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（3）利用等比數(shù)列的求和公式，求和，即可求得結(jié)論．

解答：解：（1）∵關(guān)于x的二次方程anx2-an+1x+1=0(n∈N*)的兩根α，β，
∴α+β=

an+1

an

，αβ=

1

an

，
∵6α-2αβ+6β=3，
∴6•

an+1

an

-2•

1

an

=3
∴a_n+1=

1

2

a_n+

1

3

；
（2）由（1）知，a_n+1-

2

3

=

1

2

（a_n-

2

3

），
∴{a_n-

2

3

}是以

1

3

為首項(xiàng)，公比為

1

2

的等比數(shù)列，
∴a_n-

2

3

=

1

3

•(

1

2

)n-1，
∴a_n=

2

3

+

1

3

•(

1

2

)n-1；
（3）S_n=

2

3

n+

1 3 (1- 1 2n )

1- 1 2

=

2

3

n+

2

3

(1-

1

2n

)為遞增函數(shù)，
∴S_n≥1．

點(diǎn)評(píng)：本題是對(duì)數(shù)列的遞推關(guān)系以及韋達(dá)定理和等比數(shù)列知識(shí)的綜合考查，考查數(shù)列的通項(xiàng)與求和，屬于中檔題．