Question

在直角三角形ABC中，點(diǎn)D是斜邊AB的中點(diǎn)，點(diǎn)P為線段CD的中點(diǎn)，則=

1. A.
   2
2. B.
   4
3. C.
   5
4. D.
   10

Answer 1

D
分析：以D為原點(diǎn)，AB所在直線為x軸，建立坐標(biāo)系，由題意得以AB為直徑的圓必定經(jīng)過(guò)C點(diǎn)，因此設(shè)AB=2r，∠CDB=α，得到A、B、C和P各點(diǎn)的坐標(biāo)，運(yùn)用兩點(diǎn)的距離公式求出|PA|²+|PB|²和|PC|²的值，即可求出的值．
解答：以D為原點(diǎn)，AB所在直線為x軸，建立如圖坐標(biāo)系，
∵AB是Rt△ABC的斜邊，
∴以AB為直徑的圓必定經(jīng)過(guò)C點(diǎn)
設(shè)AB=2r，∠CDB=α，則
A（-r，0），B（r，0），C（rcosα，rsinα）
∵點(diǎn)P為線段CD的中點(diǎn)，
∴P（rcosα，rsinα）
∴|PA|²=+=+r²cosα，
|PB|²=+=-r²cosα，
可得|PA|²+|PB|²=r²
又∵點(diǎn)P為線段CD的中點(diǎn)，CD=r
∴|PC|²==r²
所以：==10
故選D
點(diǎn)評(píng)：本題給出直角三角形ABC斜邊AB上中線AD的中點(diǎn)P，求P到A、B距離的平方和與PC平方的比值，著重考查了用解析法解決平面幾何問(wèn)題的知識(shí)點(diǎn)，屬于中檔題．