Question

已知數(shù)列{a_n}中，a₁=

3

5

，a_n=2-

1

an-1

（n≥2，n∈N^*），數(shù)列{b_n}滿足b_n=

1

an-1

（n∈N^*）．
（1）求證：數(shù)列{b_n}是等差數(shù)列；
（2）求{b_n}的通項公式及前n項和．

Answer 1

考點：數(shù)列遞推式,數(shù)列的求和

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：本題（1）利用等差數(shù)列的定義，證明數(shù)列{b_n}是等差數(shù)列；（2）利用等差數(shù)列的通項公式和前n項和公式，求數(shù)列{b_n}的通項公式及前n項和．

解答： 解：（1）∵a_n=2-

1

an-1

（n≥2，n∈N^*），
∴a_n=2-

1

an-1

=

2an-1-1

an-1

，
∵數(shù)列{b_n}滿足b_n=

1

an-1

（n∈N^*），
∴當n≥2，n∈N^*時，
b_n-b_n-1=

1

an-1

-

1

an-1-1

=

1

2an-1-1 an-1 -1

-

1

an-1-1

=

an-1

an-1-1

-

1

an-1-1

=

an-1-1

an-1-1

=1（常數(shù)）．
∴數(shù)列{b_n}是等差數(shù)列．
（2）∵a₁=

3

5

，b_n=

1

an-1

（n∈N^*），
∴b1=

1

3 5 -1

=-

5

2

．
由（1）知：數(shù)列{b_n}是等差數(shù)列，
∴b_n=-

5

2

+（n-1）×1=n-

7

2

，（n∈N^*），
S_n=-

5

2

n+

n(n-1)

2

×1=

1

2

n2-3n，（n∈N^*）．

點評：本題考查了等差數(shù)列的定義、通項公式和前n項和公式，本題難度不大，屬于基礎(chǔ)題．