Question

袋中裝有35個(gè)球，每個(gè)球上都標(biāo)有1到35的一個(gè)號(hào)碼，設(shè)號(hào)碼為n的球重

n2

2

-5n+15克，這些球等可能地從袋中被取出．
（1）如果任取1球，試求其重量大于號(hào)碼數(shù)的概率；
（2）如果不放回任意取出2球，試求它們重量相等的概率；
（3）如果取出一球，當(dāng)它的重量大于號(hào)碼數(shù)，則放回，攪拌均勻后重取；當(dāng)它的重量小于號(hào)碼數(shù)時(shí)，則停止取球．按照以上規(guī)則，最多取球3次，設(shè)停止之前取球次數(shù)為ξ，求Eξ．

Answer 1

分析：（1）利用重量大于號(hào)碼數(shù)，建立不等式，確定n的可能取值，從而可求概率；
（2）利用它們重量相等，建立等式，確定n的可能取值，從而可求概率；
（3）確定ξ的可能取值，求得相應(yīng)的概率，從而可求Eξ．

解答：解：（1）由

n2

2

-5n+15＞n，可得n²-12n+30＞0，…（1分）
∴n＞6+

6

或n＜6-

6

，
由于n∈N^*，所以n可取1，2，3，9，10，11，12，13，…，35共30個(gè)數(shù)，…（3分）
故P1=

30

35

=

6

7

，…（4分）
（2）因?yàn)槭遣环呕厝我馊〕?球，故這是編號(hào)不相同的兩個(gè)球，設(shè)它們的編號(hào)分別為n₁和n₂，
由

n 2 1

2

-5n1+15=

n 2 2

2

-5n2+15，得

n 2 1 - n 2 2

2

=5(n1-n2)，…（5分）
因?yàn)閚₁≠n₂，所以n₁+n₂=10，從而滿足條件的球有（1，9），（2，8），（3，7），（4，6）…（7分）
故概率為P2=

4

595

…（8分）
（3）ξ的可能取值為1，2，3，則P(ξ=1)=

1

7

，P（ξ=2）=

6

7

×

1

7

=

6

49

；P（ξ=3）=

6

7

×

6

7

=

36

49

；
∴Eξ=1×

1

7

+2×

6

49

+3×

36

49

=

127

49

．…（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查概率的計(jì)算，考查離散型隨機(jī)變量的期望，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．