Question

如圖，橢圓的中心在坐標原點，長軸端點為A、B，右焦點為F，且，．
（Ⅰ）求橢圓的標準方程；
（Ⅱ）過橢圓的右焦點F作直線l₁，l₂，直線l₁與橢圓分別交于點M、N，直線l₂與橢圓分別交于點P、Q，且，求四邊形MPNQ的面積S的最小值．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）設橢圓的方程，利用，，確定幾何量，從而可得橢圓的方程；
（Ⅱ）利用，確定l₁⊥l₂． 再分類討論，分別計算四邊形MPNQ的面積，利用基本不等式，可確定四邊形形MPNQ的面積S的最小值．
解答：解：（Ⅰ）設橢圓的方程為（a＞b＞0），
則由題意知c=1，
又∵
∴（a+c）（a-c）=1=a²-c²
∴a²=2
∴b²=a²-c²=1，
故橢圓的方程為：；
（Ⅱ）設M（x_M，y_M），N（x_N，y_N），P（x_P，y_P），Q（x_Q，y_Q）．
則由題意：
整理得：（x_N-x_M）（x_P-x_Q）+（y_N-y_M）（y_P-y_Q）=0．
所以l₁⊥l₂． 
①若直線l₁，l₂中有一條斜率不存在，不妨設l₂的斜率不存在，則可得l₂⊥x軸，
∴|MN|=2，|PQ|=，
故四邊形MPNQ的面積S=．
②若直線l₁，l₂的斜率存在，設直線l₁的方程：y=k（x-1）（k≠0），則
代入橢圓方程，消去y可得（2k²+1）x²-4k²x+2k²-2=0．
設M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），則x₁+x₂=，x₁x₂=．
∴|MN|===
同理可求得，|PQ|=．
故四邊形MPNQ的面積：S==≥
當且僅當k=±1時，取“=”．
綜上，四邊形形MPNQ的面積S的最小值為．
點評：本題考查橢圓的標準方程，考查向量知識的運用，考查基本不等式的運用，考查分類討論的數(shù)學思想，正確表示四邊形的面積是關鍵．