Question

關于x的方程e^xlnx=1的實根個數是

 

．

Answer 1

分析：已知方程e^xlnx=1，移項構造形函數f（x）=e^xlnx-1，然后對其進行求導，求出其值域即可求解．

解答：解：∵方程e^xlnx=1，
∴令f（x）=e^xlnx-1，
∴f′（x）=e^xlnx+

ex

x

=e^x（lnx+

1

x

），
∴令f′（x）=0，可得e^x（lnx+

1

x

）=

xlnx+1

x

=0，
∴xlnx+1=0，
令g（x）=xlnx+1，
∴g′（x）=lnx+1=0，
解得x=

1

e

，
當x＞

1

e

時 g（x）為增函數，
當x＜

1

e

時，g（x）為減函數，
∴g（x）的極小值也是最小值為g（

1

e

）=-

1

e

+1＞0，
∴f（x）為單調增函數，
f（

1

e

）=e

1

e

×（-1）-1＜0，
∴方程e^xlnx=1的實根個數是1個，
故答案為1．

點評：此題考查方程根的存在性及其性質，解題的關鍵是利用導數來判斷函數的單調性，要學會構造函數的思想，此題是一道好題．