【題目】已知函數(shù) .
(Ⅰ)求曲線在點處的切線方程;
(Ⅱ)求證: ;
(Ⅲ)判斷曲線是否位于軸下方,并說明理由.
【答案】(Ⅰ);(Ⅱ)見解析;(Ⅲ)見解析.
【解析】試題分析:(1)求導(dǎo),得到切線斜率,利用點斜式得到直線的方程;(2)“要證明”等價于“”,構(gòu)造新函數(shù)確定函數(shù)的最小值大于等于;(3)曲線是位于軸下方即證明),利用(Ⅱ)可知,轉(zhuǎn)證即可.
試題解析:
函數(shù)的定義域為,
.
(Ⅰ),又,
曲線在處的切線方程為
,
即.
(Ⅱ)“要證明”等價于“”
設(shè)函數(shù).
令,解得.
因此,函數(shù)的最小值為.故.
即.
(Ⅲ)曲線位于軸下方. 理由如下:
由(Ⅱ)可知,所以.
設(shè),則.
令得;令得.
所以在上為增函數(shù), 上為減函數(shù).
所以當(dāng)時, 恒成立,當(dāng)且僅當(dāng)時, .
又因為, 所以恒成立.
故曲線位于軸下方.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】函數(shù)f(x)=6cos2 + sinωx﹣3(ω>0)在一個周期內(nèi)的圖象如圖所示,A為圖象的最高點,B、C為圖象與x軸的交點,且△ABC為正三角形.
(1)求ω的值及函數(shù)f(x)的值域;
(2)若f(x0)= ,且x0∈(﹣ , ),求f(x0+1)的值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù),其中常數(shù).
(1)當(dāng)時,求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間;
(2)當(dāng)時,若函數(shù)有三個不同的零點,求的取值范圍;
(3)設(shè)定義在上的函數(shù)在點處的切線方程為,當(dāng)時,若在內(nèi)恒成立,則稱為函數(shù)的“類對稱點”,請你探究當(dāng)時,函數(shù)是否存在“類對稱點”,若存在,請最少求出一個“類對稱點” 的橫坐標(biāo);若不存在,說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】【選修4—4:坐標(biāo)系與參數(shù)方程】
將圓上每一點的橫坐標(biāo)保持不變,縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?/span>2倍,得曲線C.
(Ⅰ)寫出C的參數(shù)方程;
(Ⅱ)設(shè)直線與C的交點為,以坐標(biāo)原點為極點,x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,求過線段的中點且與垂直的直線的極坐標(biāo)方程.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】袋子里有編號為的五個球,某位教師從袋中任取兩個不同的球. 教師把所取兩球編號的和只告訴甲,其乘積只告訴乙,讓甲、乙分別推斷這兩個球的編號.
甲說:“我無法確定.”
乙說:“我也無法確定.”
甲聽完乙的回答以后,甲又說:“我可以確定了.”
根據(jù)以上信息, 你可以推斷出抽取的兩球中
A. 一定有3號球 B. 一定沒有3號球 C. 可能有5號球 D. 可能有6號球
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】數(shù)列是正整數(shù)的任一排列,且同時滿足以下兩個條件:
①;②當(dāng)時, ().
記這樣的數(shù)列個數(shù)為.
(I)寫出的值;
(II)證明不能被4整除.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知{an}為等差數(shù)列,其公差為﹣2,且a7是a3與a9的等比中項,Sn為{an}的前n項和,n∈N* , 則S10的值為( )
A.﹣110
B.﹣90
C.90
D.110
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