Question

【題目】在數(shù)列中，若且則稱為“數(shù)列”.設為“數(shù)列”，記的前項和為

（1）若，求的值；

（2）若，求的值；

（3）證明：中總有一項為或.

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）證明見解析.

【解析】

（1）根據(jù)遞推公式列出數(shù)列中的項，找規(guī)律，發(fā)現(xiàn)周期性即可得到答案;

（2）根據(jù)題意分情況進行求解即可得到答案;

（3）首先證明：一定存在某個，使得成立，再進行檢驗即可得到答案.

（1）當時，中的各項依次為，

即數(shù)列從第四項開始每三項是一個周期，

所以，，

，

所以.

（2）① 若是奇數(shù)，則是偶數(shù)，，

由，得，解得，適合題意.

② 若是偶數(shù)，不妨設，則.

若是偶數(shù)，則，由，

得，此方程無整數(shù)解；

若是奇數(shù)，則，由，

得，此方程無整數(shù)解.

綜上，.

（3）首先證明：一定存在某個，使得成立.

否則，對每一個，都有，

則在為奇數(shù)時，必有；

在為偶數(shù)時，有，或.

因此，若對每一個，都有，則單調(diào)遞減，

注意到，顯然這一過程不可能無限進行下去，

所以必定存在某個，使得成立.

經(jīng)檢驗，當，或，或時，中出現(xiàn)；

當時，中出現(xiàn)，

綜上，中總有一項為或.