Question

已知正項(xiàng)數(shù)列{a_n}滿足a1=1，an+12-nan+1•an-(n+1)an2=0
①求{a_n}通項(xiàng)公式；
②若數(shù)列{b_n}滿足bk=

(2k-1)an

k!(n-k)!

，求{b_n}的前n項(xiàng)和S_n
③若數(shù)列{c_n}滿足cn=

1

an

，其前n項(xiàng)和為T_n，證明Tn＜

43

24

．

Answer 1

分析：①對(duì)數(shù)列遞推式化簡(jiǎn)，再疊乘，即可求{a_n}通項(xiàng)公式；
②確定數(shù)列通項(xiàng)，利用倒序相加法，即可求得結(jié)論；
③n≤2時(shí)，n結(jié)論成立；n≥4時(shí)，n!＞2 ⁿ，即可證得結(jié)論．

解答：①解：∵an+12-nan+1•an-(n+1)an2=0
∴（a_n+1+a_n）[a_n+1-（n+1）a_n]=0
∵{a_n}是正項(xiàng)數(shù)列，
∴a_n+1-（n+1）a_n=0
∴

an+1

an

=n+1
∴

a2

a1

=2，

a3

a2

=3，…，

an

an-1

=n
∵a₁=1，∴疊乘可得a_n=n!；
②解：bk=

(2k-1)an

k!(n-k)!

=

(2k-1)•n!

k!(n-k)!

=（2k-1）•

C

k n

∴S_n=

C

1 n

+3

C

2 n

+…+（2n-1）•

C

n n

，
倒序可得S_n=（2n-1）•

C

n n

+…+3

C

2 n

+

C

1 n

相加可得：2S_n=（2n-1）•

C

0 n

+（2n-2）•

C

1 n

+…+（2n-2）•

C

n-1 n

+（2n-1）•

C

n n

=2+（2n-2）•2ⁿ
∴S_n=1+（n-1）•2ⁿ；
③證明：cn=

1

an

=

1

n!

，
n≤2時(shí)，n結(jié)論成立；n≥4時(shí)，∴n!＞2 ⁿ，
∴其前n項(xiàng)和為T_n＜1+

1

2

+

1

6

+

1

16

+…+

1

2n

=

43

24

-

1

2n

＜

43

24

即Tn＜

43

24

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列遞推式，考查數(shù)列的通項(xiàng)與求和，考查不等式的證明，綜合性強(qiáng)．