Question

已知函數(shù)f(x)＝log_a(3＋x)，g(x)＝log_a(3－x)(a＞0且a≠1)．

(1)當(dāng)a＝2時(shí)，求函數(shù)y＝f(x)＋g(x)的定義域、值域；

(2)求使f(x)－g(x)＞0成立的x取值范圍．

Answer 1

 [解]　(1)當(dāng)a＝2時(shí)，有y＝log₂(3＋x)＋log₂(3－x)＝log₂(－x²＋9)，則由3＋x>0且3－x＞0，解得－3＜x＜3，故函數(shù)y的定義域?yàn)?－3,3)；又因?yàn)?＜－x²＋9≤9且函數(shù)y＝log₂t(令t＝－x²＋9)為增函數(shù)，所以log₂(－x²＋9)≤log₂9＝2log₂3即y≤2log₂3，故函數(shù)y的值域?yàn)?－∞，2log₂3]．

(2)由f(x)－g(x)＞0，得f(x)＞g(x)，即log_a(3＋x)＞log_a(3－x)，

當(dāng)a＞1時(shí)，滿足解得0＜x＜3；

當(dāng)0＜a＜1時(shí)，滿足解得－3＜x＜0

故所求x取值范圍為：當(dāng)a＞1時(shí)，解集為{x|0＜x＜3}，當(dāng)0＜a＜1時(shí)，解集為{x|－3＜x＜0}．