Question

19、設(shè)函數(shù)f（x）=ax³+bx+cx+d的圖象與y軸的交點(diǎn)為點(diǎn)P，且曲線在點(diǎn)P處的切線方程為12x-y-4=0，若函數(shù)在x=2處取得極值0，試求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．

Answer 1

分析：根據(jù)切點(diǎn)既在切線上又在函數(shù)f（x）的圖象上，即可求出d，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義可知函數(shù)在x=0處的導(dǎo)數(shù)即為切線的斜率，求出c，再根據(jù)函數(shù)在x=2處取得極值0，建立f'（2）=0，f（2）=0，求出a和b，從而求出函數(shù)f（x）的解析式，最后解不等式fˊ（x）＞0和fˊ（x）＜0即可求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．

解答：解：∵點(diǎn)P在切線12x-y-4=0上，∴P（0，-4），∴d=-4．
f'（x）=3ax²+2bx+c，∴f'（0）=12，∴c=12．（4分）
又f'（2）=0，f（2）=0，得a=2，b=-9．（6分）
f（x）=2x³-9x²+12x-4，f'（x）=6x²-18x+12=6（x-1）（x-2），（8分）
f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是（-∞，1）和（2，+∞），單調(diào)遞減區(qū)間是（1，2）

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程，以及利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值和單調(diào)性等基礎(chǔ)題知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題．