Question

已知各項均為正數的等比數列{a_n}，若2a₄+a₃-2a₂-a₁=8，則2a₈+a₇的最小值為

54

．

Answer 1

分析：龜文鳥跡題意知a_n＞0和公比q＞0，由通項公式代入式子：2a₄+a₃-2a₂-a₁=8化簡，得到a₁（2q+1）=

8

q2-1

，
同理化簡2a₈+a₇，再把上式代入用q來表示且化簡，設x=

1

q2

并構造函數y=

1

q4

-

1

q6

=x²-x³，再求導、求臨界點和函數單調區(qū)間，求出函數的最大值，代入2a₈+a₇的化簡后式子求出最小值．

解答：解：由題意知等比數列{a_n}中a_n＞0，則公比q＞0，
∵2a₄+a₃-2a₂-a₁=8，∴2a₁•q³+a₁•q²-2a₁q-a₁=8，
即a₁（2q³+q²-2q-1）=8，則a₁（2q+1）（q²-1）=8，
則a₁（2q+1）=

8

q2-1

，
∴2a₈+a₇=a₁（2q+1）•q⁶=

8

q2-1

×q⁶=

8

1 q4 - 1 q6

，
設x=

1

q2

，則x＞0，設y=

1

q4

-

1

q6

=x²-x³，
則y′=2x-3x²=x（2-3x），令y=0得，x=0或

2

3

，
當0＜x＜

2

3

時，y′＞0；當x＞

2

3

時，y′＜0，
∴函數y=x²-x³在（0，

2

3

）上遞增，在（

2

3

，+∞）上遞減，
∴當x=

2

3

時，函數y取到最大值是(

2

3

)2-(

2

3

)3=

4

27

，
則

8

1 q4 - 1 q6

取到最小值是8×

27

4

=54，
即2a₈+a₇的最小值為54，
故答案為：54．

點評：本題考查了等比數列的通項公式，換元法、構造函數法，以及導數與函數單調性、最值的應用，屬于數列與函數結合較難的題，考查了學生分析問題和解決問題的能力．