【題目】如圖,在矩形中,,,點是邊上一點,且,點是的中點,將沿著折起,使點運動到點處,且滿足.
(1)證明:平面;
(2)求二面角的余弦值.
【答案】(1)見解析;(2)
【解析】
(1)取的中點,連接,,由,進而,由,得. 進而平面,進而結(jié)論可得證(2)(方法一)過點作的平行線交于點,以點為坐標原點,所在直線分別為軸、軸、軸建立如圖所示的空間直角坐標系,求得平面平面的法向量,由二面角公式求解即可(方法二)取的中點,上的點,使,連接,得,,得二面角的平面角為,再求解即可
(1)證明:取的中點,連接,,由已知得,所以,又點是的中點,所以.
因為,點是線段的中點,
所以.
又因為,所以,從而平面,
所以,又,不平行,
所以平面.
(2)(方法一)由(1)知,過點作的平行線交于點,以點為坐標原點,所在直線分別為軸、軸、軸建立如圖所示的空間直角坐標系,則點,,,,
所以,,.
設(shè)平面的法向量為,
由,得,令,得.
同理,設(shè)平面的法向量為,
由,得,
令,得.
所以二面角的余弦值為.
(方法二)取的中點,上的點,使,連接,易知,.
由(1)得,所以平面,所以,
又,所以平面,
所以二面角的平面角為.
又計算得,,,
所以.
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【題目】如圖,四棱錐P-ABCD的底面ABCD是矩形,PA⊥平面ABCD, PA=AD=2,E,F分別為PA,AB的中點,且DF⊥CE.
(1)求AB的長;
(2)求直線CF與平面DEF所成角的正弦值.
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【題目】已知函數(shù),其中,,,,且的最小值為,的圖象的相鄰兩條對稱軸之間的距離為,的圖象關(guān)于原點對稱.
(1)求函數(shù)的解析式和單調(diào)遞增區(qū)間;
(2)在中,角所對的邊分別為,且,求.
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【題目】中國鐵路總公司相關(guān)負責人表示,到2018年底,全國鐵路營業(yè)里程達到13.1萬公里,其中高鐵營業(yè)里程2.9萬公里,超過世界高鐵總里程的三分之二,下圖是2014年到2018年鐵路和高鐵運營里程(單位:萬公里)的折線圖,以下結(jié)論不正確的是( )
A.每相鄰兩年相比較,2014年到2015年鐵路運營里程增加最顯著
B.從2014年到2018年這5年,高鐵運營里程與年價正相關(guān)
C.2018年高鐵運營里程比2014年高鐵運營里程增長80%以上
D.從2014年到2018年這5年,高鐵運營里程數(shù)依次成等差數(shù)列
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【題目】已知橢圓: 的左、右焦點分別為,過任作一條與兩條坐標軸都不垂直的直線,與橢圓交于兩點,且的周長為8,當直線的斜率為時, 與軸垂直.
(Ⅰ)求橢圓的方程;
(Ⅱ)在軸上是否存在定點,總能使平分?說明理由.
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【題目】如圖1,在平面四邊形中,,現(xiàn)將沿四邊形的對角線折起,使點運動到點,如圖2,這時平面平面.
(1)求直線與平面所成角的正切值;
(2)求二面角的正切值.
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【題目】如圖,三棱錐中,底面為等邊三角形,分別是的中點.
(1)證明:平面平面;
(2)如何在上找一點,使平面并說明理由;
(3)若,對于(2)中的點,求三棱錐的體積.
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【題目】國家質(zhì)量監(jiān)督檢驗檢疫局于2004年5月31日發(fā)布了新的《車輛駕駛?cè)藛T血液、呼氣酒精含量閥值與檢驗》國家標準.新標準規(guī)定,車輛駕駛?cè)藛T血液中的酒精含量大于或等于毫克/百毫升,小于毫克/百毫升為飲酒駕車,血液中的酒精含量大于或等于毫克/百毫升為醉酒駕車.經(jīng)過反復試驗,喝一瓶啤酒后酒精在人體血液中的變化規(guī)律的“散點圖”如下圖,該函數(shù)近似模型如下:.
又已知剛好過1小時時測得酒精含量值為毫克/百毫升.根據(jù)上述條件,解答以下問題:
(1)試計算喝1瓶啤酒多少小時血液中的酒精含量達到最大值?最大值是多少?
(2)試計算喝1瓶啤酒后多少小時后才可以駕車?(時間以整分鐘計算)
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