Question

1．已知函數(shù)f（x）=x²-4|x|+3．
（1）試證明函數(shù)f（x）是偶函數(shù)；
（2）畫出f（x）的圖象；（要求先用鉛筆畫出草圖，再用中性筆描�。�
（3）請根據(jù)圖象指出函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間與單調(diào)遞減區(qū)間；（不必證明）
（4）當實數(shù)k取不同的值時，討論關(guān)于x的方程x²-4|x|+3=k的實根的個數(shù)．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)函數(shù)的定義域為R，關(guān)于原點對稱，且滿足f（-x）=f（x），可得函數(shù) f（x）是偶函數(shù)．
（2）先去絕對值，然后根據(jù)二次函數(shù)、分段函數(shù)圖象的畫法畫出函數(shù)f（x）的圖象．
（3）通過圖象即可求得f（x）的單調(diào)遞增和遞減區(qū)間；
（4）通過圖象即可得到k的取值和對應(yīng)的原方程實根的個數(shù)．

解答 解：（1）由于函數(shù)f（x）=x²-4|x|+3的定義域為R，
關(guān)于原點對稱，
且滿足f（-x）=（-x）²-4|-x|+3=x²-4|x|+3=f（x），
故函數(shù) f（x）是偶函數(shù)．
（2）f（x）的圖象如圖所示：
（3）根據(jù)圖象指出函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間
為[-2，0]、[2，+∞）；
單調(diào)遞減區(qū)間為（-∞，-2]、[0，2]．
（4）當實數(shù)k取不同的值時，
討論關(guān)于x的方程x²-4|x|+3=k的實根的個數(shù)，
即函數(shù)y=x²-4|x|+3的圖象和直線y=k交點的個數(shù)．
由圖象可看出，當k＜-1時，方程實根的個數(shù)為0；
當k=-1時，方程實根的個數(shù)為2；
當-1＜k＜3時，方程實根個數(shù)為4；
當k=3時，方程實根個數(shù)為3；
當k＞3時，方程實根個數(shù)為2．

點評 本題主要考查含絕對值函數(shù)的處理方法：去絕對值，二次函數(shù)、分段函數(shù)圖象的畫法，函數(shù)單調(diào)性的定義，以及根據(jù)圖象寫出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，數(shù)形結(jié)合討論方程實根個數(shù)的方法，屬于中檔題．