Question

已知△ABC中，角A，B，C對應的邊為a，b，c，．
（1）求sinC的值；
（2）若角A的平分線AD的長為2，求b的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）由A，B，C都為三角形的內(nèi)角，且A=2B，得到B為銳角，由sinB的值，利用同角三角函數(shù)間的基本關系求出cosB的值，再由cosA=cos2B，利用二倍角的余弦函數(shù)公式化簡后將sinB的值代入求出cosA的值，再利用同角三角函數(shù)間的基本關系求出sinA的值，由sinC=sin（A+B），利用兩角和與差的正弦函數(shù)公式化簡后將各自的值代入即可求出sinC的值；
（2）由AD為角平分線，得到∠DAC=∠B，由sinB及cosB的值，得到sin∠DAC與cos∠DAC的值，在三角形ADC中，先利用正弦定理求出DC的長，再利用余弦定理列出關于b的方程，求出方程的解即可得到b的值．
解答：解：（1）∵△ABC的角A，B，C，A=2B，
∴B為銳角，又sinB=，
∴cosB==，
∴cosA=cos2B=1-2sin²B=，sinA==，
則sinC=sin[π-（A+B）]=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB=×+×=；
（2）∵AD為∠BAC的平分線，
∴∠BAD=∠CAD=∠BAC，又∠BAC=2∠B，
∴∠CAD=∠B，
∴sin∠CAD=sinB=，cos∠CAD=cosB=，
在△ADC中，AD=2，AC=b，sin∠CAD=，sinC=，
根據(jù)正弦定理=得：DC==，
利用余弦定理得：DC²=AD²+AC²-2AD•AC•cos∠CAD，
即（）²=4+b²-b，
整理得：b²-b+=0，
解得：b=或b=．
點評：此題屬于解三角形的題型，涉及的知識有：正弦、余弦定理，同角三角函數(shù)間的基本關系，二倍角的余弦函數(shù)公式，兩角和與差的正弦函數(shù)公式，以及特殊角的三角函數(shù)值，熟練掌握定理及公式是解本題的關鍵．