Question

（2009•青浦區(qū)二模）（文）已知A、B是拋物線y²=4x上的相異兩點(diǎn)．
（1）設(shè)過點(diǎn)A且斜率為-1的直線l₁，與過點(diǎn)B且斜率為1的直線l₂相交于點(diǎn)P（4，4），求直線AB的斜率；
（2）問題（1）的條件中出現(xiàn)了這樣的幾個(gè)要素：已知圓錐曲線Γ，過該圓錐曲線上的相異兩點(diǎn)A、B所作的兩條直線l₁、l₂相交于圓錐曲線Γ上一點(diǎn)；結(jié)論是關(guān)于直線AB的斜率的值．請(qǐng)你對(duì)問題（1）作適當(dāng)推廣，并給予解答；
（3）若線段AB（不平行于y軸）的垂直平分線與x軸相交于點(diǎn)Q（x₀，0）．若x₀＞2，試用x₀表示線段AB中點(diǎn)的橫坐標(biāo)．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)題意將直線l₁，直線l₂，分別與拋物線方程聯(lián)立，求得點(diǎn)A，B的坐標(biāo)，再利用斜率公式可求斜率；
（2）推廣：已知拋物線y²=2px上有一定點(diǎn)P，過點(diǎn)P作斜率分別為k、-k的兩條直線l₁、l₂，分別交拋物線于A、B兩點(diǎn)，試計(jì)算直線AB的斜率．再利用（1）的方法求得點(diǎn)A，B的坐標(biāo)，從而利用斜率公式可求斜率；
（3）先求出線段AB（不平行于y軸）的垂直平分線的方程，再確定其線段AB中點(diǎn)的橫坐標(biāo)．

解答：解：（1）由

x+y-8=0 y2=4x.

解得A（16，-8）；由

x+y=0 y2=4x.

解得B（0，0）．
由點(diǎn)斜式寫出兩條直線l₁、l₂的方程，l₁：x+y-8=0；l₂：x-y=0，所以直線AB的斜率為-

1

2

． …（4分）
（2）推廣：已知拋物線y²=2px上有一定點(diǎn)P，過點(diǎn)P作斜率分別為k、-k的兩條直線l₁、l₂，分別交拋物線于A、B兩點(diǎn)，試計(jì)算直線AB的斜率．
過點(diǎn)P（x₀，y₀），斜率互為相反數(shù)的直線可設(shè)為y=k（x-x₀）+y₀，y=k（x-x₀）+y₀，其中y₀²=2px₀．
由

y=k(x-x0)+y0 y2=2px

得ky²-2py+2py₀-ky₀²=0，所以A(

( 2p k -y0)2

2p

，

2p

k

-y0)
同理，把上式中k換成-k得B(

( 2p k +y0)2

2p

，-

2p

k

-y0)，所以
當(dāng)P為原點(diǎn)時(shí)直線AB的斜率不存在，當(dāng)P不為原點(diǎn)時(shí)直線AB的斜率為-

p

y0

．
（3）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則y_i²=4x_i（i=1，2）．               …（13分）
設(shè)線段AB的中點(diǎn)是M（x_m，y_m），斜率為k，則k=

y2-y1

x2-x1

=

4

y1+y2

=

2

ym

，…（15分）
線段AB的垂直平分線l的方程為y-ym=-

ym

2

(x-xm)，…（17分）
又點(diǎn)Q（x₀，0）在直線l上，所以-ym=-

ym

2

(x0-xm)，
而y_m≠0，于是x_m=x₀-2．故線段AB中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為x₀-2．   …（18分）

點(diǎn)評(píng)：本題的考點(diǎn)是直線與圓錐曲線的綜合問題，主要考查直線與拋物線的位置關(guān)系，考查斜率公式，有較強(qiáng)的綜合性