Question

已知函數(shù)f（x）=x³+ax²+bx+c在x=-1與x=

2

3

處取得極值．
（1）求a，b的值；
（2）求f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（3）若當(dāng)x∈[-1，2]時(shí)恒有f（x）＜c²+3c成立，求實(shí)數(shù)c的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：計(jì)算題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）求導(dǎo)f′（x）=3x²+2ax+b，由f′(-1)=f′(

2

3

)=0解a，b的值；
（2）由（1）知f′（x）=3（x+1）（x-

2

3

）；從而由導(dǎo)數(shù)求單調(diào)區(qū)間；
（3）由（2）可知f（x）在x∈[-1，2]的最大值在f（-1），f（2）中產(chǎn)生，從而化恒成立問(wèn)題為最值問(wèn)題．

解答： 解：（1）f（x）=x³+ax²+bx+c，f′（x）=3x²+2ax+b；
則f′(-1)=f′(

2

3

)=0解得，
a=

1

2

，b=-2；
（2）由題意，f′（x）=3（x+1）（x-

2

3

）；
故當(dāng)x∈（-∞，-1）∪（

2

3

，+∞）時(shí)，f′（x）＞0；
當(dāng)x∈（-1，

2

3

）時(shí)，f′（x）＜0；
故f(x)在(-∞，-1)，(

2

3

，+∞)上遞增，在(-1，

2

3

)上遞減；
（3）由（2）可知f（x）在x∈[-1，2]的最大值在f（-1），f（2）中產(chǎn)生，
又∵f(-1)=

3

2

+c＜f(2)=8+c；
∴8+c＜c²+3c，
解得：c＞2或c＜-4．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用及恒成立問(wèn)題，屬于中檔題．