Question

12．在一個(gè)特定時(shí)段內(nèi)，以點(diǎn)E為中心的7海里以內(nèi)海域被設(shè)為警戒水域．點(diǎn)E正北55海里處有一個(gè)雷達(dá)觀測(cè)站A．某時(shí)刻測(cè)得一艘勻速直線行駛的船只位于點(diǎn)A北偏東45°且與點(diǎn)A相距40$\sqrt{2}$海里的位置B，經(jīng)過40分鐘又測(cè)得該船已行駛到點(diǎn)A北偏東45°+θ（其中sinθ=$\frac{\sqrt{26}}{26}$，0°＜θ＜90°）且與點(diǎn)A相距10$\sqrt{13}$海里的位置C．
（1）求該船的行駛速度（單位：海里/小時(shí)）；
（2）若該船不改變航行方向，當(dāng)它行使到A的正南方向時(shí)，求該船與觀測(cè)站A的距離；不改變航向繼續(xù)航行，判斷它是否會(huì)進(jìn)入警戒水域，說明理由．

Answer 1

分析 （1）求得cosθ的值，進(jìn)而令余弦定理求得BC，除以時(shí)間即可求得速度．
（2）建立坐標(biāo)系，分別求得x₂，y₂，進(jìn)而求得過直線B，C的直線l的斜率，求得直線l的方程．進(jìn)而求得點(diǎn)E到直線的距離判斷與7的大小關(guān)系．

解答 解：（1）如圖，AB=40$\sqrt{2}$，AC=10$\sqrt{13}$，∠BAC=θ，sinθ=$\frac{\sqrt{26}}{26}$，
由于°＜θ＜90°，
所以cosθ=$\sqrt{1-（\frac{\sqrt{26}}{26}）^{2}}$=$\frac{5\sqrt{26}}{26}$
由余弦定理得BC=$\sqrt{A{B}^{2}+A{C}^{2}-2AB•AC•cosθ}$=10$\sqrt{5}$
所以船的行駛速度為$\frac{10\sqrt{5}}{\frac{2}{3}}$=15$\sqrt{5}$（海里/小時(shí)）；
（2）如圖所示，以A為原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)點(diǎn)B、C的坐標(biāo)分別是B（x₁，y₁），C（x₁，y₂），BC與x軸的交點(diǎn)為D
由題設(shè)有x₁=y₁=$\frac{\sqrt{2}}{2}$AB=40
x₂=ACcos∠CAD=10$\sqrt{13}$cos（45°-θ）=30，
y₂=ACsin∠CAD=10$\sqrt{13}$（45°-θ）=20
所以過點(diǎn)B、C的直線l的斜率k=$\frac{20}{10}$=2，
直線l的方程為y=2x-40
又點(diǎn)E（0，-55）到直線l的距離d=$\frac{|0+55-40|}{\sqrt{1+4}}$=3$\sqrt{5}$＜7，
所以船會(huì)進(jìn)入警戒水域．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了解三角形問題的實(shí)際應(yīng)用．建立數(shù)學(xué)模型，把實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為幾何知識(shí)來解決．