Question

已知數列{a_n}滿足a₁=1，．求證：．

Answer 1

【答案】分析：本題考查的是數列與不等式的綜合類問題．解答時應用數學歸納法，首先驗證當n=2時，然后假設當n=k（k≥2，k∈N*）時，不等式成立，再分析當n=k+1時的情況，此時要注意一定要用上假設．最后下好結論即可．
解答：證明：記所證不等式為（*）式，用數學歸納法證明如下：
（1）當n=2時，∵a₁=1∴
∵∴（*）式成立．
（2）假設當n=k（k≥2，k∈N*）時，（*）式成立，
即有
那么，當n=k+1時，
令（x＞1）∵∴在（1，+∞）上是單調增函數，
而
∴
即
先證①
兩邊同乘，即證
即證4k²-1＜4k²上式成立，∴①式成立．
再證②
兩邊同乘即證
即證9k²＜9k²+3k-2∵k≥2∴上式成立，則②式成立．
則
∴當n=k+1時，（*）式也成立，
根據（1），（2）知，（*）式成立．
點評：本題考查的是數列與不等式的綜合類問題．解答時的過程當中充分體現了數學歸納法的思想、計算的能力以及問題轉化的能力．值得同學們體會反思．