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（12分）定義在上的函數，，當時，.且對任意的有。
（1）證明：；
（2）證明：對任意的，恒有；
（3）證明：是上的增函數；
（4）若，求的取值范圍。

（1）令即可證明（2）分證明即可
（3）利用單調性定義即可證明（4）

解析試題分析：（1）證明：令，，又，
所以.                                                                      ……2分
（2）證明：由已知當時，，由（1）得，
故當時，成立,
當時， ，所以，
而，所以,
可得
綜上：對任意的，恒有成立.                                             ……6分
（3）證明：設，則，

而，，
即，是上增函數得證。                                              ……10分
(4)由，可得，
又因為是上增函數，所以，解得，
所以：所求的取值范圍.                                                     ……12分
考點：本小題主要考查抽象函數的求值，單調性，抽象不等式的求解.
點評：求解抽象函數問題，主要的方法是賦值法，證明抽象函數的單調性只能用定義，證明時要盡量化簡到最簡單.

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：解答題

設函數,的兩個極值點為,線段的中點為.
(1) 如果函數為奇函數,求實數的值;當時，求函數圖象的對稱中心；
(2) 如果點在第四象限,求實數的范圍;
(3) 證明:點也在函數的圖象上,且為函數圖象的對稱中心.

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科目：高中數學 來源： 題型：解答題

（本小題滿分14分）
已知函數.
（Ⅰ）函數在區(qū)間上是增函數還是減函數？證明你的結論；
（Ⅱ）當時，恒成立，求整數的最大值；
（Ⅲ）試證明：（）。

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科目：高中數學 來源： 題型：解答題

(本小題滿分12分)
已知函數:.
(1) 當時①求的單調區(qū)間;
②設,若對任意,存在,使,求實數取值范圍.
(2) 當時,恒有成立,求的取值范圍.

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科目：高中數學 來源： 題型：解答題

已知函數,.
（Ⅰ）若在上為單調函數,求m的取值范圍；
（Ⅱ）設,若在上至少存在一個，使得成立，求的取值范圍.

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科目：高中數學 來源： 題型：解答題

．(本小題滿分12分）
已知函數，是常數）在x=e處的切線方程為，既是函數的零點，又是它的極值點．
(1)求常數a,b,c的值；
(2)若函數在區(qū)間(1，3)內不是單調函數，求實數m的取值范圍；
(3)求函數的單調遞減區(qū)間，并證明：

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科目：高中數學 來源： 題型：解答題

已知函數在與時都取得極值
（1）求的值與函數的單調區(qū)間
（2）若對，不等式恒成立，求的取值范圍。

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科目：高中數學 來源： 題型：解答題

（本小題滿分13分）
已知函數是定義在上的奇函數.
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）求函數的值域；
（Ⅲ）當時，恒成立，求實數的取值范圍.

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科目：高中數學 來源： 題型：解答題

（本小題滿分13分）
已知R，函數．
（1）求的單調區(qū)間；
（2）證明：當時，．

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