Question

已知∠ASC=90°，∠BSA=∠BSC=60°，又SA=SB=SC
求證：平面ABC⊥平面SAC．

Answer 1

【答案】分析：由于∠BSC=∠BSA=60°，且SA=SB=SC，可以發(fā)現(xiàn)三角形SAB、SBC是正三角形，又由∠ASC=90°可得三角形ABC為等腰三角形，故取底邊BC的中點(diǎn)D，連接SD，AD，可以證明三角形BSD為直角三角形，而∠ADS恰好為二面角S-BC-A的平面角，從而由面面垂直的定義可證之．
解答：證明：設(shè)SA=SB=SC=a，
∵∠BSA=∠BSC=60°，
∴三角形SBC、SAB為正三角形，AB=BC=a
∵∠ASC=90°
∴三角形SAC為等腰直角三角形，AC=a
∴三角形ABC為等腰三角形，
取AC的中點(diǎn)D，連接SD、BD，由等腰三角形三線合一的性質(zhì)可得
∴SD⊥AC，BD⊥AC，
∴∠BDS即為二面角S-AC-B的平面角，
又∵等腰直角三角形SAC中，SD=AD=a，
等腰三角形ABC中，BD===
在三角形SBD中，SB=a，BD=a，SD=a，
∴三角形SBD為直角三角形，∠SDB=90°，
∴平面ABC⊥平面SAC．
點(diǎn)評：本題考查利用面面垂直的定義來證明面面垂直的方法，二面角的定義，二面角的平面角的畫法和求法，將空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題的思想方法