已知F是雙曲線C：
x2
a2
-
y2
b2
=1 (a＞0，b＞0)的左焦點(diǎn)，B1B2是雙曲線的虛軸，M是OB1的中點(diǎn)，過F，M的直線交雙曲線C于點(diǎn)A，且
FM
=2
MA
，則雙曲線C的離心率是
5
2
5
2
．
分析：設(shè)A（x0，y0），由題設(shè)知M（0，
b
2
），F(xiàn)（-c，0），故
FM
=(c，
b
2
)，
MA
=(x0，y0-
b
2
)，由
FM
=2
MA
，解得x0=
c
2
，y0=
3
4
b，把A（
c
2
，
3
4
b）代入雙曲線C：
x2
a2
-
y2
b2
=1 (a＞0，b＞0)，能夠求出雙曲線C的離心率．
解答：解：設(shè)A（x0，y0），
由題設(shè)知M（0，
b
2
），F(xiàn)（-c，0），
∴
FM
=(c，
b
2
)，
MA
=(x0，y0-
b
2
)，
∵
FM
=2
MA
，
∴c=2x
 
 
0
，
b
2
=2(y0-
b
2
)，
解得x0=
c
2
，y0=
3
4
b，
∵A（
c
2
，
3
4
b）在雙曲線C：
x2
a2
-
y2
b2
=1 (a＞0，b＞0)上，
∴
c2
4
a2
-
9
16
b2
b2
=1，
∴
c2
a2
=
25
4
，
∴雙曲線C的離心率e=
5
2
．
故答案為：
5
2
．
點(diǎn)評(píng)：本題考查雙曲線的性質(zhì)及其應(yīng)用，解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意向量性質(zhì)的靈活運(yùn)用．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)已知雙曲線C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞0，b＞0），B是右頂點(diǎn)，F(xiàn)是右焦點(diǎn)，點(diǎn)A在x軸正半軸上，且滿足|
OA
|、|
OB
|、|
OF
|成等比數(shù)列，過F作雙曲線C在第一、第三象限的漸近線的垂線l，垂足為P．
（1）求證：
PA
•
OP
=
PA
•
FP
；
（2）若l與雙曲線C的左、右兩支分別相交于點(diǎn)D、E，求雙曲線C的離心率e的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知雙曲線C：
x2
a2
-
y2
b2
=1(a＞0，b＞0)，如圖，B是右頂點(diǎn)，F(xiàn)是右焦點(diǎn)，點(diǎn)A在x軸正半軸上，且滿足：|
OA
|，|
OB
|，|
OF
|成等比數(shù)列，過F作雙曲線C在第一、三象限的漸近線的垂線l，垂足為P
（1）求證：
PA
•
OP
=
PA
•
FP
．
（2）若l與雙曲線C的左右兩支分別相交于點(diǎn)E、D，求雙曲線離心率e的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知F（c，0）是雙曲線C：
x2
a2
-
y2
b2
=1(a＞0，b＞0)的右焦點(diǎn)，若雙曲線C的漸近線與圓E：(x-c)2+y2=
1
2
c2相切，則雙曲線C的離心率為
2
2
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知拋物線y2=8x的焦點(diǎn)F到雙曲線C：
y2
a2
-
x2
b2
=1（a＞0，b＞0）漸近線的距離為
4
5
5
，點(diǎn)P是拋物線y2=8x上的一動(dòng)點(diǎn)，P到雙曲線C的上焦點(diǎn)F1（0，c）的距離與到直線x=-2的距離之和的最小值為3，則該雙曲線的方程為（　　）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2013-2014學(xué)年河南省原名校高三上學(xué)期期聯(lián)考理科數(shù)學(xué)試卷（解析版） 題型：選擇題

已知F是雙曲線（a＞0，b＞0）的左焦點(diǎn)，E是該雙曲線的右頂點(diǎn)，過點(diǎn)F且垂直于x軸的直線與雙曲線交于A、B兩點(diǎn)，若△ABE是銳角三角形，則該雙曲線的離心率e的取值范圍為（    ）

A．（1，＋∞）   B．（1，2）        C．（1，1＋）   D．（2，1＋）

 

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