Question

已知數(shù)列{a_n}滿足a₁=2，a₂=3，2a_n+1=3a_n-a_n-1（n∈N^*且n≥2），若b_n+1=a_n+1-a_n，
（Ⅰ）證明：數(shù)列{b_n}為等比數(shù)列，并求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式．
（Ⅱ）求使不等式

an-m

an+1-m

＜

2

3

成立的所有正整數(shù)m，n的值．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列與不等式的綜合

專題：常規(guī)題型,壓軸題,分類討論

分析：（I）利用數(shù)列{b_n}與數(shù)列{a_n}項(xiàng)之間的關(guān)系整體找尋相鄰項(xiàng)之間的關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵，先求出等比數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)公式，在利用數(shù)列{b_n}與數(shù)列{a_n}項(xiàng)之間的關(guān)系確定出數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（II）利用相鄰項(xiàng)之間的關(guān)系，將所求解的不等式進(jìn)行轉(zhuǎn)化變形是解決本題的關(guān)鍵．通過數(shù)列的單調(diào)性轉(zhuǎn)化為整數(shù)m與數(shù)列項(xiàng)的關(guān)系進(jìn)一步確定出所有正整數(shù)m，n的值．

解答： 解：（I）由2a_n+1=3a_n-a_n-1變形得2a_n+1-2a_n=a_n-a_n-1（n≥2），故2b_n+1=b_n
故{b_n}是以a₂-a₁為首項(xiàng)，

1

2

為公比的等比數(shù)列．
a_n+1-a_n=(

1

2

)n-1
由累加法得a_n-a₁=

1-( 1 2 )n-1

1- 1 2

，故a_n=4-(

1

2

)n-2．
（II）要使不等式

an-m

an+1-m

＜

2

3

則

an-m

an+1-m

-

2

3

＜0，∴

3an-3m-2an+1+2m

3(an+1-m)

＜0
又2a_n+1=3a_n-a_n-1，則有

an-1-m

an+1-m

＜0，（n≥2）
又a_n=4-(

1

2

)n-2是單調(diào)遞增數(shù)列，故a_n+1＞a_n-1
∴a_n+1＞m＞a_n-1（n≥2），即

m＞a n-1 m＜an+1

當(dāng)n=2，解得2＜m＜3.5．即m=3．
當(dāng)n≥3時(shí)，

m＞a n-1≥3 m＜an+1＜4

，即3＜m＜4，不合題意．
另當(dāng)n=1，

an-m

an+1-m

＜

2

3

，

a 1-m

a2-m

＜0，解得0＜m＜3，即得m=1，2
總上所述：滿足條件的正整數(shù)m，n為：
當(dāng)n=1，m=1或2，當(dāng)n=2時(shí)，m=3．

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列的遞推關(guān)系確定數(shù)列通項(xiàng)公式的方法，利用整體思想確定出數(shù)列滿足的遞推關(guān)系，從而確定數(shù)列是哪一類特殊數(shù)列．考查學(xué)生的累加法求通項(xiàng)公式．考查學(xué)生分式不等式的求解方法，體現(xiàn)解題的轉(zhuǎn)化與化歸思想．