Question

16．用圖解法求下列線性規(guī)劃問(wèn)題：
（1）約束條件$\left\{\begin{array}{l}{x+y≤5}\\{x-y≤3}\\{x≥0}\\{y≥0}\\{\;}\end{array}\right.$，目標(biāo)函數(shù)Z_max=2x+y；
（2）約束條件$\left\{\begin{array}{l}{2x+y≥4}\\{x+5y≥6}\\{x≥0}\\{y≥0}\end{array}\right.$，目標(biāo)函數(shù)Z_min=3x+y；
（3）約束條件$\left\{\begin{array}{l}{2x-y-3≥0}\\{2x+3y-6≤0}\\{3x-5y-15≤0}\end{array}\right.$，目標(biāo)函數(shù)Z_max=x+y．

Answer 1

分析 由約束條件作平面區(qū)域，化簡(jiǎn)目標(biāo)函數(shù)為斜截式，從而由截距的最值確定目標(biāo)函數(shù)的最值即可．

解答 解：（1）由約束條件$\left\{\begin{array}{l}{x+y≤5}\\{x-y≤3}\\{x≥0}\\{y≥0}\\{\;}\end{array}\right.$作平面區(qū)域如下，
，
化目標(biāo)函數(shù)Z=2x+y為y=-2x+Z，
結(jié)合圖象可知，
當(dāng)y=-2x+Z過(guò)點(diǎn)B（4，1）時(shí)Z有最大值，
故Z_max=2×4+1=9；
（2）由約束條件$\left\{\begin{array}{l}{2x+y≥4}\\{x+5y≥6}\\{x≥0}\\{y≥0}\end{array}\right.$作平面區(qū)域如下，

化目標(biāo)函數(shù)Z=3x+y為y=-3x+Z，
結(jié)合圖象可知，
當(dāng)y=-3x+Z過(guò)點(diǎn)A（0，4）時(shí)Z有最小值，
故Z_min=4；
（3）由約束條件$\left\{\begin{array}{l}{2x-y-3≥0}\\{2x+3y-6≤0}\\{3x-5y-15≤0}\end{array}\right.$作平面區(qū)域如下，

化目標(biāo)函數(shù)Z=x+y為y=-x+Z，
結(jié)合圖象可知，
當(dāng)y=-x+Z過(guò)點(diǎn)A（$\frac{75}{19}$，-$\frac{12}{19}$）時(shí)Z有最小值，
故Z_max=$\frac{75}{19}$-$\frac{12}{19}$=$\frac{63}{19}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了線性規(guī)劃的應(yīng)用，注意將目標(biāo)函數(shù)化成斜截式，從而由截距的最值確定目標(biāo)函數(shù)的最值．